Đề thi minh họa - Kỳ thi THPT quốc gia năm 2015 môn Toán (Có đáp án)

 BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐỀ THI MINH H ỌA - KỲ THI THPT QU ỐC GIA NĂM 2015 
 Môn: TOÁN 
 Th ời gian làm bài: 180 phút. 
 2x − 1
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm s ố y = . 
 x + 1
 a) Kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị ( C) c ủa hàm s ố đã cho. 
 b) Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị (C), bi ết ti ếp điểm có hoành độ x = 1. 
Câu 2.(1,0 điểm) 
 π 3 tan α
 a) Cho góc α th ỏa mãn: <α < π và sin α = . Tính A = . 
 2 5 1+ tan 2 α
 b) Cho s ố ph ức z thỏa mãn hệ th ức: (1+iz ) +− (3 iz ) =− 2 6 i . Tính mô đun c ủa z. 
Câu 3.(0,5 điểm) Gi ải ph ươ ng trình: log(3x+ 2) = 1 − log 3 x . 
Câu 4.(1,0 điểm) Gi ải bất ph ươ ng trình: xxx2++ −≥2 3( xx 2 −− 2 2). 
 2
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I=∫ (2 x3 + ln xx )d. 
 1
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t ại B, AC = 2a, 
ACB = 30o , 
Hình chi ếu vuông góc H của đỉnh S trên m ặt đáy là trung điểm c ủa c ạnh AC và SH= 2 a . Tính theo 
a th ể tích kh ối chóp S.ABC và kho ảng cách t ừ điểm C đến m ặt ph ẳng ( SAB). 
Câu 7.(1,0 điểm) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thu ộc 
đường th ẳng ∆:4x + 3 y − 12 = 0 và điểm K(6; 6) là tâm đường tròn bàng ti ếp góc O. G ọi C là điểm 
nằm trên ∆ sao cho AC= AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so v ới điểm A. Bi ết điểm C có 
 24
hoành độ b ằng , tìm t ọa độ của các đỉnh A, B. 
 5
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian v ới h ệ t ọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 0) và B(1; 1;− 1). Vi ết 
ph ươ ng trình m ặt ph ẳng trung tr ực ( P) c ủa đoạn th ẳng AB và ph ươ ng trình m ặt c ầu tâm O, ti ếp xúc 
với ( P). 
Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia m ột bu ổi thi v ấn đáp. Cán b ộ hỏi thi đư a cho m ỗi thí 
sinh m ột bộ câu h ỏi thi g ồm 10 câu h ỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình 
th ức gi ống h ệt nhau, m ỗi phong bì đựng 1 câu h ỏi; thí sinh ch ọn 3 phong bì trong s ố đó để xác định 
câu h ỏi thi c ủa mình. Bi ết r ằng b ộ 10 câu h ỏi thi dành cho các thí sinh là nh ư nhau, tính xác su ất để 3 
câu h ỏi A ch ọn và 3 câu h ỏi B ch ọn là gi ống nhau. 
Câu 10.(1,0 điểm) Xét s ố th ực x. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức sau: 
 32(x2 + 2 x + 1 ) 1 1
 P = + + .
 3 2x2+−() 3332 x + x 2 ++ () 333 x + 
 ----------- HẾT ----------- b) (1,0 điểm) 
 1
 Tung độ y của ti ếp điểm là: y= y (1) = . 0,25 
 0 0 2
 3
 Suy ra h ệ s ố góc k của ti ếp tuy ến là: k= y '(1) = . 0,25 
 4
 3 1
 Do đó, ph ươ ng trình c ủa ti ếp tuy ến là: y=( x − 1) + ; 0,25 
 4 2
 3 1
 hay y= x − . 0,25 
 4 4
 Câu 2 a) (0,5 điểm) 
 tan α 3
(1,0 điểm) Ta có: A = =tan α.cos 2 α =sin α.cos α = cos α. (1) 0,25 
 1+ tan 2 α 5
 3  2 16
 cos 2α =−1 sin 2 α =−1  = . (2) 
 5  25
 π  4
 Vì α ∈ ; π  nên cos α < 0. Do đó, t ừ (2) suy ra cos α = − . (3) 0,25 
 2  5
 12
 Th ế (3) vào (1), ta được A = − . 
 25
 b) (0,5 điểm) 
 Đặt z = a + bi , ( a, b ∈ » ); khi đó z= a − bi . Do đó, kí hi ệu ( ∗) là h ệ th ức cho 
 trong đề bài, ta có: 
 0,25 
 (∗) ⇔ (1+iabi )( + ) +− (3 iabi )( − ) =− 26 i 
 ⇔ (4ab− 2 −+− 2) (6 2) bi = 0 
 4a− 2 b − 20 = a = 2
 ⇔ ⇔ 
 {6− 2b = 0 {b = 3.
 0,25 
 Do đó |z |= 22 + 3 2 = 13. 
 ● Đ ề ệ đị
 Câu 3 i u ki n xác nh: x > 0. (1) 
 ● Với điều ki ện đó, ký hi ệu (2) là ph ươ ng trình đã cho, ta có: 
(0,5 điểm) 0,25 
 (2) ⇔ log(3x+ 2) + log 3 x = 1 ⇔ log3 (x ( x + 2)) = log 3 3 
 ⇔ x2 +2 x − 3 = 0 ⇔ x = 1 (do (1)). 0,25 
 Câu 4 ● Điều ki ện xác định: x ≥1 + 3. (1) 
(1,0 điểm) ● Với điều ki ện đó, ký hi ệu (2) là b ất ph ươ ng trình đã cho, ta có: 0,25 
 (2) ⇔ xx2 +−+2 2 2 xxx ( + 1)( −≥ 2) 3( xx2 −− 2 2) 
 ⇔ xx(− 2)( x +≥ 1) xx ( −− 2) 2( x + 1) 
 ⇔ ( xx(−− 2) 2( x + 1))( xx ( −++≤ 2) ( x 1)) 0. (3) 
 0,50 
 Do v ới m ọi x th ỏa mãn (1), ta có x( x− 2) + ( x +> 1) 0 nên 
 (3) ⇔ x( x− 2) ≤ 2( x + 1) 
 ⇔ x2 −6 x − 4 ≤ 0 
 ⇔ 3− 13 ≤≤+x 3 13. (4) 
 0,25 
 Kết h ợp (1) và (4), ta được t ập nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình đã cho là: 
  
 1+ 3;3 + 13.  Câu 7 
(1,0 điểm) 
 Trên ∆, l ấy điểm D sao cho BD = BO và D, A nằm khác phía nhau so v ới B. 
 Gọi E là giao điểm c ủa các đường th ẳng KA và OC ; g ọi F là giao điểm c ủa các 
 đường th ẳng KB và OD . 
 Vì K là tâm đường tròn bàng ti ếp góc O của ∆OAB nên KE là phân giác c ủa góc 
 OAC
. Mà OAC là tam giác cân t ại A (do AO = AC , theo gt) nên suy ra KE cũng 
 là đường trung tr ực c ủa OC . Do đó E là trung điểm c ủa OC và KC = KO . 
 Xét t ươ ng t ự đối v ới KF , ta c ũng có F là trung điểm c ủa OD và KD = KO . 0,50 
 Suy ra ∆CKD cân t ại K. Do đó, h ạ KH ⊥ ∆, ta có H là trung điểm c ủa CD . 
 Nh ư v ậy: 
 + A là giao c ủa ∆ và đường trung tr ực d1 của đoạn th ẳng OC ; (1) 
 + B là giao c ủa ∆ và đường trung tr ực d2 của đoạn th ẳng OD , v ới D là điểm đối 
 xứng c ủa C qua H và H là hình chi ếu vuông góc c ủa K trên ∆. (2) 
 24
 Vì C ∈ ∆ và có hoành độ x = (gt) nên g ọi y là tung độ c ủa C, ta có: 
 0 5 0
 24 12
 4.+ 3y − 12 = 0. Suy ra y = − . 
 5 0 0 5
 12 6 
 Từ đó, trung điểm E của OC có t ọa độ là ; −  và đường th ẳng OC có 
 5 5 
 ph ươ ng trình: x+2 y = 0. 0,25 
 Suy ra ph ươ ng trình c ủa d1 là: 2x− y − 60. = 
 Do đó, theo (1), t ọa độ c ủa A là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 
 4x+ 3 y − 12 = 0
 {2x− y − 6 = 0.
 Gi ải h ệ trên, ta được A = (3; 0). Câu 10 Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , v ới m ỗi s ố th ực x, xét các điểm A( x ; x + 1) , 
(1,0 điểm) 3 1  3 1 
 B; −  và C −; −  . 
 2 2  2 2  0,25 
 OA OB OC
 Khi đó, ta có P = + + , trong đó a = BC , b = CA và c = AB . 
 a b c
 Gọi G là tr ọng tâm ∆ABC , ta có: 
 OAGA. OB . GB OC .3. GC OAGA OB . GB OC . GC 
 P =++ = ++  , 
 aGA. bGB . cGC .2. ama bm . b cm . c  0,25 
 trong đó ma, m b và mc tươ ng ứng là độ dài đường trung tuy ến xu ất phát t ừ A, 
 B, C của ∆ABC . 
 Theo b ất đẳng th ức Cô si cho hai s ố th ực không âm, ta có 
 1 2 2 2 2
 am.a = .32 ab() + 2 ca −
 2 3
 2 2 22 
 1 3a+() 2 b + 2 ca − a2+ b 2 + c 2
 ≤. = .
 232 23 0,25 
 a2+ b 2 + c 2 a2+ b 2 + c 2
 Bằng cách t ươ ng t ự, ta c ũng có: b. m ≤ và c. m ≤ . 
 b 2 3 c 2 3
 3 3
 Suy ra P≥() OAGA. + OB . GB + OC .. GC (1) 
 a2+ b 2 + c 2
   
 Ta có: OAGA.+ OBGB . + OCGC . ≥ OAGA . + OBGB . + OCGC .. (2) 
   
 OAGA. + OB  . GB +  OC . GC     
 =+()()()OG GA. GA ++ OG GB . GB ++ OG GC . GC
    
 =OG.() GA +++++ GB GC GA2 GB 2 GC 2 
 2 2 2 0,25 
 4 2 2 2 a+ b + c
 =()ma ++ m b m c = . (3)
 9 3
 Từ (1), (2) và (3), suy ra P ≥ 3. 
 Hơn n ữa, b ằng ki ểm tra tr ực ti ếp ta th ấy P = 3 khi x = 0. 
 Vậy minP = 3.