Kế hoạch bài dạy môn Đại số 9 - Bài: Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

 CÁCH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. CÁC BƯỚC GIẢI:
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Biễu diễn các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập pt hoặc hệ pt.
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
II. CHUẨN BỊ TRƯỚC KHI GIẢI VÀO PHẦN BÀI LÀM:
- Đọc và hiểu đề toán (có thể dùng sơ đồ để minh họa)
- Trong bài toán có mấy đối tượng? Nếu có 1 đối tượng tham gia trong bài thì có những khả năng nào xảy ra?
- Trong bài toán có những đại lượng nào? Những đại lượng đó liên hệ với nhau bằng công thức nào?
- Lập bảng tóm tắt gồm các đại lượng (theo cột) và các đối tượng (theo dòng). Nếu trong bài chỉ có 1 đối 
tượng , thì sẽ có ít nhất 2, 3 ... khả năng xảy ra cho đối tượng đó, ta viết các khả năng đó theo từng dòng.
- Điền những đại lượng đã biết vào ô trống. Chọn ẩn số (thứ tự 1), tiếp theo biểu diễn những đại lượng chưa 
biết qua ẩn (kèm thứ tự).
- Viết vào bài làm thứ tự bảng tóm tắt. 
III. Chú ý:
1/ Trong bảng tóm tắt, đại lượng nào dùng công thức biểu diễn thì so sánh những đại lượng đó để lập pt.
2/ Trong các bài số học phải biết biểu diễn dưới dạng tổng lũy thừa cơ số 10.
Ví dụ: a/ 68 = 6.10 + 8 b/ ab = 10.a + b
 c/ 238 = 2. 102 + 3.10 + 8 d/ abc = a. 102 + b.10 + c 
3/ Trong bài toán công việc làm chung - riêng 
 1
Đối tượng A làm một công việc nào đó trong x (giờ) thì trong 1 giờ đối tượng đó làm được (công việc) 
 x
Cả hai đối tượng cùng làm 1 công việc xong trong m (giờ) thì trong 1 giờ cả hai đối tượng đó cùng làm được 
 1
 (công việc)
 m
+ Bài toán cho” Hai đối tượng cùng làm chung xong công việc sau m (giờ) ...” Thì có 5 lời giải như sau:
Gọi thời gian đối tượng thứ nhất làm xong công việc là x (giờ). ĐK: .....
Gọi thời gian đối tượng thứ hai làm xong công việc là y (giờ). ĐK: .....
 1
Trong 1 giờ đối tượng thứ nhất làm được (công việc)
 x
 1
Trong 1 giờ đối tượng thứ hai làm được (công việc)
 y
 1
Trong 1 giờ cả hai đối tượng cùng làm được (công việc)
 m
 1 1 1
Ta có phương trình: 
 x y m
Như vậy: Giả thiết còn lại dùng để lập pt thứ 2 của hệ. Do đó đối với dạng toán này ta “có thể” không cần lập 
bảng tóm tắt ở nháp (làm thẳng vào phần bài làm)
4/ Ca nô (hay thuyền) chuyển động trên dòng nước chảy có 4 loại vận tốc:
Vận tốc thực (còn gọi vận tốc riêng) của ca nô, vận tốc xuôi dòng; vận tốc ngược dòng và vận tốc dòng nước 
thì: Vxuôi = Vthực + Vnước; Vngược = Vthực – Vnước; 2Vnước = Vxuôi – Vngược
IV. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một ô tô đi dự định từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận 
tốc của ô tô giảm 10km/h thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc của ô tô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 
phút. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ôtô?
Nhận xét:
 - Bài toán có 1 đối tượng tham gia là “Một ô tô” nhưng có 3 khả năng xảy ra là: dự định; đi với vận tốc 
giảm; đi với vận tốc tăng. 
- Bài toán thuộc dạng chuyển động nên có 3 đại lượng: Quãng đường: S (km), vận tốc: V( km/h) và thời gian: 
t (h) với liên hệ S = V.t
 45 3 30 1
 (đổi: 45 phút = (giờ) = (giờ); 30 phút = (giờ) = (giờ).)
 60 4 60 2
 Trang 1 1 1 5
 x y 36
 Ta có hệ phương trình 
 4 3 1
 x y 2
Giải ra ta có: x = 12; y = 18. Trả lời: ......
Ví dụ 3: Một chiếc thuyền xuôi và ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4h30’. Biết thời gian xuôi 
dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km. Tính vận tốc thực của thuyền và vận tốc dòng nước?
Nhận xét: Bài toán dạng chuyển động. 
Có một đối tượng tham gia trong bài: Một chiếc thuyền. Có hai trường hợp xảy ra: Đi xuôi, đi ngược.
Bảng toám tắt:
 V(km/h) t(h) S(km)
 Xuôi dòng x + y (km/h) (3) 40 40 (km)
 (h) (5)
 x y
 Ngược dòng x – y (km/h) (4) 40 40 (km )
 (h) (6)
 x y
Trong bảng trên: Đại lượng bài toán hỏi không có trong bảng. Vì vậy ta phải chọn ẩn bằng 2 lời giải. Sau đó 
mới điền 4 ô trống trong bảng.
Đại lượng thời gian dùng công thức biểu diễn nên ta so sánh thời gian để lập hệ.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận của thuyền khi nước yên lặng là x km/h (x > y), vận tốc của dòng nước là y km/h (y > 0)
 40 40
Thời gian thuyền xuôi dòng: (h); Thời gian thuyền ngược dòng : (h) 
 x y x y
 5 4
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 4km bằng thời gian thuyền ngược dòng 5km nên ta có pt: 
 x y x y
 9 40 40 9
Vì chiếc thuyền xuôi ngược dòng trên khúc sông dài 40 km hết 4h30’ h nên có pt 
 2 x y x y 2
 5 4
 x y x y
Ta có hệ phương trình: 
 40 40 9
 x y x y 2
Giải ra ta được vận tốc của thuyền là x = 18 km/hvận tốc dòng nước là: y = 2km/h
Ví dụ 4: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ 2 tổ 1 vượt mức 15% tổ 2 
vượt mức 20%, do đó cuối tháng hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất 
được bao nhiêu chi tiết máy. 
Nhận xét: Đây là dạng toán thêm - bớt (Tương ứng + ; -).
Bài toán này tăng thêm theo % nên hơi khó hơn.
Nhắc lại tí kiến thức:
+ Tháng 2 hơn tháng đầu 15%, có nghĩa tháng đầu làm 100% thì tháng 2 làm được 100% + 15% = 115% = 
115
 1,15 của tháng đầu.
100
 m m
+ của số x bằng .x
 n n
Bài toán có hai đối tượng tham gia: Tổ 1 và tổ 2. Có 3 đại lượng: số chi tiết máy tháng 1; số chi tiết máy 
tháng 2; tổng số chi tiết máy cả hai tháng.
Bảng tóm tắt: 
 số chi tiết máy tháng 1 số chi tiết máy tháng 2 Tổng
 Tổ 1 x (1) 1,15x (3) 800
 Tổ 2 y (2) 1,20y (4) 945
Hướng dẫn giải:
Gọi số sản phẩm tháng 1 của tổ 1 là x; số sản phẩm tháng 1 của tổ 2 là y (chi tiết máy) (x; y nguyên dương)
 Trang 3 Gọi thòi gian hai vòi chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y giờ (ĐK: x, y > 0)
 1 1 1 8 15
Trong 1h, 2vòi chảy được là (1) ; Mở 2 vòi trong 8h và khoá vòi 1 lại ta có pt: 1 (2) 
 x y 12 x y
 1 1 1
 x y 12
Theo bài ra ta có hệ pt: Giải hệ pt ta được x = 28h, y = 21h.
 8 15
 1
 x y 
Bài 7: Hai tổ công nhân làm chung trong 12h sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau 
trong 4h thì sau đó tổ 1 được điều đi làm việc khác, tổ thứ 2 làm tiếp trong 10h thì xong công việc. Hỏi mỗi 
tổ làm một mình thì sau bao lâu xong công việc? 
Hướng dẫn giải:
Gọi thời gian tổ 1, tổ 2 làm một mình xong công việc là x, y giờ (ĐK: x, y > 0)
 1 1 1
Trong 1h cả hai đội làm được là 
 x y 12
 4 14
Hai đội làm chung trong 4h và đội 2 làm trong 10h nữa thì xong công việc ta có pt: 1 
 x y
 1 1 1
 x y 12
Kết hợp ta có hệ pt: (x = 60; y = 15)
 4 14
 1
 x y
Bài 8: Một hình chữ nhật có chu vi là 70m, nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m thì diện tích 
không đổi. Hãy tìm chiều rộng và chiều dài?
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều rộng là x (m), chiều dài là y (m) (ĐK: x, y > 0). Nửa chu vi là 70 : 2 = 35(m), tức là x + y = 35 
Khi chiều rộng tăng và chiều giảm ta có (x – 3)(y + 5) = xy 
 x y 35
Theo bài ra ta có hpt: Giải ra ta có x = 15; y = 20. 
 (x 3)(y 5) xy
Bài 9: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km 
thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc 
của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
Hướng dẫn giải:
Gọi thời gian dự định là x (h), vận tốc của xe lúc đầu là y (km/h) (x, y > 0), thì chiều dài qđ AB là xy (km). 
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì: Vận tốc của xe lúc này là: y + 10 (km/h); Thời gian xe đi hết 
Quãng đường AB là: x – 3 (giờ). Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1)
Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì: Vận tốc của xe lúc này là: y – 10 (km/h); Thời gian xe đi hết Quãng 
đường AB là: x + 5 (giờ). Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2)
 x 3 y 10 xy xy 10x 3y 30 xy 10x 3y 30
Từ (1) và (2) ta có hệ: 
 x 5 y 10 xy xy 10x 5y 50 xy 10x 5y 50
 10x 3y 30 x 15
 2y 80 y 40
Giải hệ phương trình ta được: x = 15; y = 40.
Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ, vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h. Quãng đường 
AB có độ dài là: 15. 40 = 600 (km)
Bài 10: Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư tuổi trung bình của họ là 40. Tính số bác sĩ và luật sư biết rằng 
tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi trưng bình của luật sư là 50.
Hướng dẫn giải: 
Gọi số bác sĩ là x (người); Gọi số luật sư là y (người) (ĐK: x, y thuộc N*) 
 x y 45
 x 30
Theo bài ra ta có hpt: 35x 50y 40 . Vậy số bác sĩ là 30 người số luật sư là 15 người.
 y 15
 45
 Trang 5