Kế hoạch bài dạy Toán 8 - Tiết 34 đến 36, Chuyên đề: Giải phương trình, phương trình nghiệm nguyên (Tiếp theo) - Năm học 2020-2021

 Tuần 35 Ngày soạn: 09/05/2021
 Tiết 34 + 35 + 36 Ngày dạy: 10/05/2021
 Chuyờn đề: 
 GIẢI PHƯƠNG TRèNH, PHƯƠNG TRèNH NGHIỆM NGUYấN (tt)
D. PHƯƠNG TRèNH NGHIỆM NGUYấN
I-Phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c є Z
1.Các định lí:
 a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 
0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c.
 b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số 
nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức: 
 b
 x x t
 0 d
 a Với t є Z, d = (a,b)
 y y t
 0 d
2.Cách giải:
 a.Tiến hành qua 5 bước sau: (cách giải chung)
 Bước 1: Tìm d = (a,b)
 Khi đó ax + by = c a1x + b1y = c1
 Với a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = 1
 Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a1 và b1 
 Giả sử : a1 > b1 Ta có
 a1 = b1 q0 + r1
 b1 = r1q1 + r2
 r1 = r2q2 +r3 
 rn-2 = rn-1 + rn Với rn = 1
 1 m
 Bước 3: Tính a0 + = 
 1 n
 a 
 1 1
 a 
 2 1
 ... 
 a k
 Bước 4: Lấy nghiệm riêng (x0’; y0’) của phương trình a1x + b1y = 1
 sao cho :
 x0’ = m x0’ = n
 hoặc 
 y0’ = n y0’ = m
 Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp được (x0’, y0’)
 Bước 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ là nghiệm riêng của phương trình a1x + b1y = c1
 nghiệm tổng quát của phương trình là: x = x0 + b1 t 1 y
 x = 3 - 2y +
 2
 1 y 1 y
 Do x, y nguyên nguyên. Đặt = t với (t є Z )
 2 2
 y = 1 - 2t x = 3 - 2(1- 2t) + t = 5t + 1
 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
 x = 5t + 1
 y = -2t +1 (t є Z )
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên
 6x - 15 y = 25
Hướng dẫn:
Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25 
 Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình.
 5x + 7y = 112
Hướng dẫn:
 Ta có 5x + 7y = 112
 112 7y 2 2y
 x = = 22 - y + 
 5 5
 2 2y
 Do x, y nguyên nguyên hay (2 – 2y) 5 2(1-y)  5; (2 , 5) = 1
 5
 (1-y)  5 hay (y-1)5 . Đặt y-1 = 5t (t є Z ) 
 y = 5t +1 
 thay y vào x ta có x = 21 - 7t
 1
 lại có x > 0; y > 0 5t + 1 > 0 t > -
 5
 21 - 7t > 0 t < 3
 t = 0 ;1; 2  
 Nếu t = 0 x = 21; y = 1
 Nếu t = 1 x = 14; y = 6
 Nếu t = 2 x = 7; y = 11
II. Phương trình nghiệm nguyên dạng
 a1x1 + a2x2 + + anxn= c (2) Với a, c є Z (i = 1,2n); n 2
1.Định lý: Điều kiện cần và đủ để phương trình (2) có nghiệm là (a1, a2,an) \ c
2.Cách giải: Đưa phương trình về 1 trong 2 dạng sau:
a. Có một hệ số của một ẩn bằng 1
 Giả sử a1 = 1. Khi đó x1 = c - a2x2 - a3x3 - - anxn 
 với x1, x2,., xn є Z 
 Nghiệm của phương trình là:
 (c - a2x2 - a3x3 - - anxn , x2,., xn) với x2,., xn nguyên bất kỳ
b. Có hai hệ số là hai số nguyên tố cùng nhau
 Giả sử ( a1, a2 ) = 1. Khi đó pt (2) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - - anxn
 Giải phương trình theo 2 ẩn x1, x2
Ví dụ 4: Giải phương trình trên tập số nguyên (2x - 1) + 2y(2x-1) = 11
 (2x - 1) (2y + 1) = 11
Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1)
Ta có 2y + 1 = 1 (x; y) = (6; 0)
 2x - 1 = 11
 2y + 1 = -1 (x; y) = (-5; -1)
 2x - 1 = -11
 2y + 1 = 11 (x; y) = (1, 5)
 2x - 1 = 1
 2y + 1 = -11 (x; y) = ( 0; -6)
 2x - 1 = -1
IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh nghiệm nguyờn.
a) 3x3 - 3y3 = 21
b) 3xy + x - y = 1
 2 2
c) 2x + 3xy - 2y = 7
Bài 2: Tỡm x,y, z nguyờn dương thoả món.
a) 2(x + y + z) + 9 = 3xyz
b) xy + yz + zx = xyz + 2
 xy yz zx
c) 3
 z x y
Bài 3: Chứng minh rằng:
 1 1 1
a) Phương trỡnh 1 khụng cú nghiệm nguyờn dương.
 x 2 xy y 2
 1 1 1 1
b) chỉ cú một số hữu hạn nghiệm nguyờn dương.
 x y z 1991
c) Phương trỡnh x2 + y 2 = 4m + 3 khụng cú nghiệm nguyờn với m nguyờn.
d) Cú vụ số số nguyờn x để biểu thức sau là số chớnh phương.
 (1 + 2 + 3 + ... + x)(12 + 22 + 32 + ... + x2)
Bài 4: Giải phương trỡnh trờn tập số nguyờn.
 2 2 2 2 2 2
a) x 3y 17 . b) x 5y 17 . c) x 2y 1.
d) 2x 122 y2 32 . e)15x2 7y2 9 . f) x2 2x 4y2 37 .
Bài 5: Giải phương trỡnh trờn tập số nguyờn.