Ôn tập kiến thức môn Toán 11 - Chuyên đề: Đại số tổ hợp (9 tiết)

 Chuyên đề. ĐẠI SỐ TỔ HỢP (9 tiết).
 Tiết 1+2+3: QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. QUY TẮC ĐẾM
a. QUY TẮC CỘNG:
 Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án 
B . Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công 
việc có thể thực hiện bởi n+m cách.
b. QUY TẮC NHÂN:
 Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B . Công đoạn A 
có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể 
làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
2. HOÁN VỊ .
- Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử ( n 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n 
phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
- Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là. Pn n! n(n 1)(n 2)...1.
- Chú ý: 0! = 1
3. CHỈNH HỢP.
- Định nghĩa. Cho một tập A gồm n phần tử ( n 1). Kết quả của việc lấy k phần tử 
khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi 
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho
- Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n ) là.
 n!
 k n n 1 n 2  n k 1 
 An (n k)!
II. KĨ NĂNG VẬN DỤNG
 - Biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị và chỉnh hợp kết hợp với 
sử dụng MTCT để giải các bài toán cơ bản và các bài toán thực tế.
 - Cách sử dụng MTCT để tính
 a) Tính nk:
 Tổ hợp phím: n ^ k 
 y
 hoặc: n x k 
 b) Tính n!: 
 Tổ hợp phím: n SHIFT x! 
 k
 c)Tính An :
 Tổ hợp phím: n SHIFT n Pr k 
 3
 Ví dụ: Tính A15
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1. Trong một trường, khối 11 có 308 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn một học sinh khối 11 đi tham dự cuộc thi “huyền thoại đường 
Hồ Chí Minh trên biển” cấp huyện? + Xét số dạng abc1
Có 6 cách chọn a
Có 5 cách chọn b
Có 4 cách chọn c
Vậy có 6.5.4 = 120 số lẻ dạng abc1
+ Tương tự các trường hợp còn lại. Vậy có 4.120 = 480 số lẻ có bốn chữ số được lập 
từ các số đã cho.
Bài tập 5. Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. lập ra số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.
a. Hỏi lập được bao nhiêu số.
b. Có bao nhiêu số chia hết cho 5.
 Giải.
a. Số tự nhiên có ba chữ số dạng : abc 
Có 6 cách chọn a vì a khác không.
Có 6 cách chọn b
Có 5 cách chọn c
Vậy có 6.6.5 = 180 số
b. Số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 5 dạng ab0 hoặc ab5
+ Xét số dạng ab0
Có 6 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 6.5 = 30 số
+ Xét số dạng ab5
Có 5 cách chọn a và 5 cách chọn b. Vậy có 5.5 = 25 số
Bài tập 6. Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm tám 
người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
 Giải
Mỗi cách xếp 8 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy số cách xếp 8 người thành hàng dọc là: 8 ! = 8.7.6.5.4.3.2 = 40320 (cách xếp)
Bài tập 7. Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành 
hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có có thể 
tạo bao nhiêu tín hiệu nếu.
a) Cả 5 lá cờ đều được dùng;
b) Ít nhất một lá cờ được dùng.
 Giải.
a) Nếu dùng cả 5 lá cờ thì một tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ. Vậy có 
5! =120 tín hiệu được tạo ra.
b)Mỗi tín hiệu được tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy 
 1 2 3 4 5
tắc cộng, có tất cả. A5 A5 A5 A5 A5 325 tín hiệu.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.
1. Đề bài:
Câu 1. Cho 6 chữ số 2,3,4,6,7,9. Lập ra số tự nhiên có 3 chữ số. Có bao nhiêu số nhỏ 
hơn 400?
 A. 60 B. 40 C. 72 D. 162
Câu 2. Cho 6 chữ số 2,3,4,6,7,9. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số được 
lập từ các số trên? đội phải đấu với nhau 2 trận. 1 trận lượt đi và một trận lượt về. Đội nào có nhiều 
điểm nhất thì vô địch. Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
 A. 10 B. 6 C. 12 D. 15
Câu 20. Có 10 người ngồi được xếp vào một cái ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao 
cho ông X và ông Y, ngồi cạnh nhau?
 A. 10!-2 B. 8! C. 8!.2 D. 9!.2
Câu 21. Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 
chữ số đôi một khác nhau?
 A. 2520 B. 900 C. 1080 D.21
Câu 22: Trong một hộp bút có 2 bút đỏ, 3 bút đen và 2 bút chì. Hỏi có bao nhiêu cách 
để lấy một cái bút?
 A.12 B. 6 C. 2 D. 7
Câu 23. Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 
chữ số đôi một khác nhau?
 A. 1440 B. 2520 C. 1260 D. 3360
Câu 24: Cho tập A = {0;1;2;3;4;5;6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên 
có năm chữ số và chia hết cho 2:
 A. 8232 B. 1230 C. 1260 D. 2880
Câu 25: Cho các chữ số: 1,2,3,4,5,6,9. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác 
nhau và không bắt đầu bởi chữ số 9 từ các chữ số trên?
A. 4320 số B. 5040 số C. 720 số D. 8640 số
2. Hướng dẫn. 
Câu 1.C,vì đề không yêu cầu giống nhau, hay khác nhau nên ta gọi số có dạng abc 
a={2,3}(có 2 cách chọn) b,c lấy từ các số 2,3,4,6,7,9(có 62 cách)
Vậy có cả thảy là 2.62=72.
Câu 2.B, tương tự, gọi số có dạng abc : c={2,4,6}(có 3 cách chọn); a={2,3}(có 2 
cách chọn); b có 6 cách chọn. Vậy có 3.2.6=36
Câu 3.B, Cũng không yêu cầu giống hay khác, gọi số có dạng abcd ; a (có 9 cách 
chọn), còn các số b,c,đều có 10 cách chọn, d có 5 cách chọn Vậy có 9.102.5=4500
Câu 4.A, Gọi số có dạng abc vì tổng 3 số khác nhau bằng 8 nên ta chỉ có các cặp 
số(1,2,5) và (1,3,4); ứng với mỗi cặp số ta hoán vị lá 3! vậy có 2.3!
Câu 5B. Từ A  C có 12 cách đi; nhưng từ CA chỉ còn 11 cách chọn, vì không trở 
lại con đương cũ. Vậy có 12.11
Câu 6A, gọi các số có dạng abcba hoặcababa hoặc abbba hoặc aaaaa (9) 
số có dạng abcba có (9.9.8+1.9.8), số có dạng ababa có (9.9), số có dạng abbba 
có (9.9), số có dạng aaaaa có 9 số. Vậy có 900
Câu 7D, Bài toán này cũng không yêu cầu các số đôi một khác nhau; có 4 số đứng 
đầu là 0553 còn lại là 6 số. Vậy có 106=1.000.000
Câu 8D, Có 3 cách chọn vị trí đầu còn 5 vị trí còn lại có 5! Cách chọn. Vậy có 3.5!
Câu 9D, Bài toán không yêu cầu khác nhau; vị trí đầu chỉ có{3}, 2 vị trí còn lại là 42. 
Vậy có 1.42 .Nếu bài yêu cầu như vậy và có bổ sung 3 chữ số đôi một khác nhau 
(đápán .32)
Câu 10D, Giả sử 2 cuốn sach cùng thể loại là một quyển thì có 19! Cách xếp trên giá Tiết 4+5+6: TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIU TƠN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. TỔ HỢP.
- Định nghĩa. Giả sử tập A có n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A 
được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
 k
- Kí hiệu C n là số các tổ hợp chập k của n phẩn tử (0 k n ). Ta có định lí
Số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n ) là.
 n! (n 1)(n 2)...(n k 1)
 C k 
 n k!(n k)! k!
 k
- Tính chất của các số Cn
+ Tính chất 1
 k n k
 C n C n (0 k n)
+ Tính chất 2 (Công thức Pax-can)
 k 1 k k
 C n 1 C n 1 C n
2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN.  n N*,  cặp số (a; b) ta có.
 n
 n 0 n 1 n 1 k n k k n n k n k k
 (a b) Cn a Cn.a b ... Cn a b ... Cn b Cn a b
 k 0
II. KĨ NĂNG VẬN DỤNG
 - Tính được số tổ hợp chập k của n phần tử.
 - Phân biệt được sự giống và khác nhau giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
 - Biết cách vận dụng các công thức tính số tổ hợp để giải các bài toán thực tiễn.
 - Cần biết khi nào dùng chỉnh hợp, tổ hợp và phối hợp chúng với nhau để giải 
toán.
 - Biết tìm số hạng trong khai triển niu tơn và biết vận dụng khai triển niu tơn 
để tính tổng.
 - Kết hợp với sử dụng MTCT để tính hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải nhanh 
các bài toán.
 k
 - Tính Cn bằng máy tính bỏ túi:
Tổ hợp phím: n nCr k 
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1. Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn 
đầu theo những thứ tự khác nhau sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Hỏi 
có bao nhiêu cách xếp.
 Giải
Để xác định số cách xếp ta phải làm theo các công đoạn như sau.
 3
 1. Chọn 3 nam từ 6 nam. có C6 cách. 
 2
 2. Chọn 2 nữ từ 5 nữ. có C5 cách.
 3. Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau. có 5! Cách. 
 3 2
Từ đó ta có số cách xếp là C6 .C5 .5! 24000 8 0 1 1 0 8
Số hạng chứa x là C3 C6 b C3 aC6 x . Theo bài ra ta có : 
 C0.C2 b 2 C1aC1 b C2a2C0 9
 3 6 3 6 3 6 15b2 18ab 3a2 9
 hay 
 C0C1 b C1aC0 0 6b 3a 0
 3 6 3 6 
 a 2
 a 2b b 1
Hay 2 
 b 1 a 2
 b 1
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Đề bài:
Câu 1. Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 15 cạnh là:
 A.78 B.455 C.1320 D.45
Câu 2. Có bao nhiêu cách phân phát 10 phần quà giống nhau cho 6 học sinh, sao cho 
mỗi học sinh có ít nhất một phần thưởng?
 A.210 B.126 C.360 D.120
Câu 3.Có 7 trâu và 4 bò. Cần chọn ra 6 con, trong đó không ít hơn 2 bò. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn? 
 A.137 B.317 C.371 D.173
Câu 4. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là:
 A.50 B.100 C.120 D.45
Câu 5. Số giao diểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt với 5 đường tròn(Chỉ 
đường thẳng với đường tròn) là: 
 A.252 B.3024 C.50 D.100
Câu 6. Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. 
Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau, vậy ông X có bao nhiêu 
cách mời?
 A.462 B.126 C.252 D.378
Câu 7. Sáu người chờ xe buýt nhưng chỉ còn 4 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
đặt?
 A.20 B.120 C.360 D.40
Câu 8. Có bao nhiêu cách phân 6 thầy giáo dạy toán vào dạy 12 lớp 12. Mỗi Thầy 
dạy 2 lớp
 2 2 2 2 2 2 2 6
 A.6 B.C12 C.C12.C10.C8 .C6 .C4 .C2 D. C12 
Câu 9. Hai nhân viên bưu điện cần đem 10 bức thư đến 10 địa chỉ khác nhau. Hỏi có 
bao nhiêu cách phân công
 A.102 B.2.10! C.10.2! D.210
Câu 10. Cho tập A= A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Số tập con của A chứa 7
 A.29 B.28+1 C.29-1 D.28-1
Câu 11. Thầy giáo phân công 6 học sinh thành từng nhóm một người, hai người, ba 
người về ba địa điểm. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
 A.120 B.20 C.60 D.30
Câu 12. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà 3 x
Câu 20. Biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển (x2 x + )n là 36. Hãy tìm số 
 x
hạng thứ 8
 1 8 1 8
 A.84 x3 x B.9 . x.3 x C.36. . x.3 x D. 48x3 x .
 x6 x6
 1
Câu 21.Tìm số hạng chính giữa của khai triển ( 3 x )8 ,với x> 0
 4 x
 1 1 1 1
 A.70 x3 B.70 x3 và 56 x 4 C.56 x 4 D.70. 3 x.4 x
 0 1 2 2 n n
Câu 22. Cho A Cn 5Cn 5 Cn ... 5 Cn . Vậy 
 A. A=5n B. A=6n C. A=7n D. A=4n
 5 5
Câu 23. Biết Cn 15504 . Vậy thì An bằng bao nhiêu?
 A.108528 B.62016 C.77520 D.1860480
Câu 24. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1+x)n có hai hệ số 
 7
liên tiếp có tỉ số là: 
 15
 A.22 B.21 C.20 D.23
Câu 25. Tính hệ số của x25y10 trong khai triển (x3+xy)15 ?
 A.3003 B.4004 C.5005 D.58690
2. Hướng dẫn.
Câu 1B Đa giác này có 15 đỉnh, suy ra số tam giác xác định bởi các đỉnh chính là tổ 
 3
hợp chập 3 của 15 đỉnh hay C15 455
Câu 2B, Phân phát n quà giống nhau cho k học sinh mỗi học sinh có ít nhất mổ phần 
 k 1 6 1
quà là Cn + k - 1 .Áp dụng vào là C4 6 1 126 ( theo đề mội học sinh đều có ít nhất một 
phần quà nên; ta phát lần lượt đều cho 6 học sinh là 6 phần quà; còn lại 4 phần ta phát 
cho 6 học sinh)
 2 4 3 3 4 2
Câu 3C, “Không ít hơn 2 con bò”là có thể 2 bò. Vậy có C4 C7 C4C7 C4 C7 371
 2
Câu 4D, Số giao điểm tối đa của n đường thẳng phân biệt là Cn .
 2
Áp dụng. Vậy có C10 45
Câu 5D, Bổ sung nếu bài toán “giao điểm tối đa của chỉ n đường thẳng với k đường 
tròn” có 2.n.k .Áp dụng.Vậy có 2.10.5=100
 5
Câu 6D, Ông X loại bỏ hai người ghét nhau ra thì có C9
Ông X chỉ mời một trong hai người ghét nhau. mời một trong hai người ghét nhau