Ôn tập kiến thức môn Toán 11 - Chuyên đề: Đạo hàm

 CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM
 BUỔI 1:
 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa đạo hàm:
 ' '
Đạo hàm của f (x) tại x0 , kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 )
 ' f (x0 x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
 f (x0 ) lim lim
 x 0 x x
 x 0 x x0
2. Quy tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
 *Các quy tắc : Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số .
 • u v ' u ' v '
 • u.v ' u '.v v'.u C.u C.u 
 u u '.v v'.u C C.u 
 • , v 0 
 v v2 u u2
 • Nếu y f u , u u x y x yu .u x .
 *Các công thức : 
 • C 0 ; x 1 
 • xn n.xn 1 un n.un 1.u , n ¥ , n 2 
 1 u 
 • x , x 0 u , u 0 
 2 x 2 u
B. KĨ NĂNG CƠ BẢN
* Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:
+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo. 
 Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo).
 y
+ Bước 2: Tính lim suy ra f′(xo)
 x xo x
 *Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :
 ax2 bx c (ab' a'b)x2 2(ac' a'c)x (bc' b'c)
  Dạng : y = y’ = 
 a' x2 b' x c' (a' x2 b' x c')2
 ax2 bx c ad.x2 2ae.x (be dc)
  Dạng : y = y’ = 
 dx e (dx e)2
 ax b ad cb
  Dạng : y = y’ = 
 cx d (cx d)2
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Bài tập 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau:
 2
 a) y = x + x tại x0 1 
 x 1
 b) y = tại x 0
 x 1 0
 Lời giải 6x 2 6x 2 54x 12x 2 27 6x
 18x 2 66x 29
 ❖ Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số y f (x) ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi 
 áp dụng các công thức và phép toán của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số.
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 2 3
 a) y (2x 4 4x 3)1994 ; b) y 2 2x 2 1 ; c) y d) y x 5 2 x 2 2 
 x 5
 Lời giải:
 4 1994
a) y (2x 4x 3) b) y 2 2x 2 1
 ' 4 1993 4 '
y 1994(2x 4x 3) (2x 4x 3) (2x 2 1)' 4x
 y ' 2 
 1994(2x4 4x 3)1993 (8x3 4) 2 2x 2 1) 2x 2 1)
 2 3
c) y d) y x 5 2 x 2 2 
 x 5
 3 '
 ' 5 2 
 ' 5 4 y x 2 x 2 
 ' 1 (x )' 5x 10 
 y 2 2 2 
 5 5 2 10 6
 x x x x 2 '
 3 x 5 2 x 2 2 x 5 2 x 2 2 
 2 ' '
 3 x 5 2 x 2 2 x 5 2 x 2 2 
 2 (x 2 2)'
 15 x 5 2 x 2 2 x 4 2
 2 x 2 2
 2 2x
 15 x 5 2 x 2 2 x 4 
 x 2 2
Bài toán 3: Giải bất phương trình. 
 ❖ Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:
 Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f (x) và g(x) (nếu có)
 Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f ' (x) và g ' (x) (nếu có) vào điều kiện tìm 
 nghiệm x0
 Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau:
 1 5
 a) f ' (x) < 0 ,với f (x) x 3 x 2 6x
 3 2
 x 2 3x 9
 b) g ' (x) 0 ,với g(x) 
 x 2
 1 2 1
 c) f ' (x) < g'(x) ,với f (x) x 3 x 2 ; g(x) x 3 x 2 2x
 2 3 2
 Lời giải:
 1 5
 a) f ' (x) < 0, với f (x) x 3 x 2 6x 
 3 2
Ta có f ' (x) x 2 5x 6 
Mà f ' (x) < 0 x2 5x 6 0
 2 x 3
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3) D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.
Câu 1: Số gia của hàm số , ứng với: và là:
A. 19B. -7C. 7D. 0
Câu 2: Số gia của hàm số theo và là:
A. B. C. D. 
Câu 3: Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số tại là:
A. B. C. D. 
Câu 4: Tỉ số của hàm số theo x và là:
A. 2B. 2 C. D. −
Câu 5: Đạo hàm của hàm số tại là:
A. 0B. 2C. 1D. 3
 2x 1
Câu 6: Hàm số y có đạo hàm là:
 x 1
 1 3 1
A. y/ = 2 B. y / C. y / D. y / 
 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) 2
 x 2 2
Câu 7: Hàm số y có đạo hàm là:
 1 x
 x 2 2x x 2 2x x 2 2x
A. y / B. y / C. y/ = –2(x – 2) D. y / 
 (1 x) 2 (1 x) 2 (1 x) 2
 2
 1 x 
Câu 8: Cho hàm số f(x) = . Đạo hàm của hàm số f(x) là:
 1 x 
 2(1 x ) 2(1 x ) 2(1 x ) 2(1 x )
A. f / (x) B. f / (x) C. f / (x) D. f / (x) 
 (1 x ) 3 x (1 x ) 3 x (1 x ) 2 (1 x )
Câu 9: Đạo hàm của hàm số trên khoảng là:
A. B. C. D. 
Câu 10: Đạo hàm của hàm số là:
A. B. 
C. D. 
Câu 11: Đạo hàm của hàm số là:
A. B. 
C. D. 
Câu 12: Đạo hàm của hàm số là:
A. B. C. D. 
Câu 13: Đạo hàm của hàm số là:
A. B. C. D. 
Câu 14: Cho hàm số . Giá trị của x để y’ > 0 là:
A. B. 
C. D. BUỔI 2
Tiết 4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Kiến thức cơ bản
 sin x sin x
Giới hạn của là lim 1
 x x 0 x 
Bảng đạo hàm hàm số lượng giác
 Đạo hàm của hàm số lượng giác:
 sin x ' cos x sin u ' u ' cosu (sin n u)' nsin n 1 u. sin u '
 cos x ' sin x cosu ' u ' sin u (cos n u)' ncos n 1 u.(cosu)'
 ' n n 1
 ' 1 ' u (tan u)' n tan u.(tan u)'
 tan x 2 tan u 
 cos x cos 2 u
 ' n n 1
 ' 1 ' u (cot u)' ncot u.(cot u)'
 cot x 2 cot 
 sin x sin 2 u
 ' '
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u x và hàm số y f (u) có đạo hàm tại u là y(u(x)) thì hàm hợp 
y f (g(x)) có đạo hàm tại x là: 
 ' ' '
 y ( x ) y ( u ( x ) ) .u ( x )
B. Kỹ năng cơ bản
 sin x 0
- Biết vận dụng lim 1 trong một số giới hạn dạng đơn giản. 
 x 0 x 0
- Tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác. 
- Tính đạo hàm của một số hàm số hợp.
C. Bài tập luyện tập 
Bài toán 1: Đạo hàm của hàm số lượng giác.
Dạng 1: Đạo hàm của hàm số y sin x , y cos x , y tan x và y cot x
 Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 sin x cos x
 a) y sin x cos x : b) y tan x cot x c) y 
 sin x cos x
 Lời giải:
 y tan x cot x
 y sin x cos x
 y' (tan x cot x)'
 y' (sin x cos x)'
 a) b) y' (tan x)' (cot x)'
 y' (sin x)' (cos x)'
 1 1
 y' cos x sin x y' 
 cos2 x sin2 x ' '
 y' x2 1.cot 2x x2 1 cot 2x cot 2x ' x2 1 
 2 ' '
 (x 1) (2x) 2
 cot 2x 2 x 1
 2 x2 1 sin 2x 
 x cot 2x 2 x2 1
 2
 x2 1 sin 2x
 cos x
d) y 
 sin 3 x
 ' ' 3 3 ' sin x.sin3 x 3sin2 x(sin x)' cos x
 ' cos x (cos x) sin x (sin x) cos x 
 y 3 3 2 3 2
 sin x (sin x) (sin x)
 sin4 x 3sin2 x.cos2 x
 sin6 x
D. Bài tập TNKQ
(Làm tổng hợp cuối) Tiết 6 ĐẠO HÀM CẤP HAI
A. Kiến thức cơ bản
 (n) (n)
 • f (x) (f (x))'
 • (xn )' n.xn 1
B. Kỹ năng cơ bản
Tính đạo hàm cấp hai của HS
Tính đạo hàm cấp cao của HS luọng giác, phân thức
Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lượng giác.
C. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Tính đạo hàm cấp hai
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
 x
 a) y = sin3xcos2x b) y 
 x2 1
 c) y x2 sin x d) y (1 x2 )cosx
 1
 y sin 5xcos2x sin 7x sin 3x 
 2
 1
a) y 7cos7x 3cos3x 
 2
 1
 y '' 49sin 7x 9sin 3x 
 2
 x 1 1 1 1 1 1 
 y y ' 
 2 2 2 
 x 1 2 x 1 x 1 2 (x 1) (x 1) 
b) 
 1 1 
 y '' 3 3 
 (x 1) (x 1) 
 y ' 2x.sin x x2.cos x
c) 
 y '' (2 x2 )sin x 4x.cos x
 y ' 2x.cos x 1 x2 sin x
d) 
 y '' (x2 3)cos x 4xsin x
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng 
 a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx.
 b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x.
 c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x.
 Giải
 1
a) Ta có y' 
 cos2 x
Khi đó