Ôn tập kiến thức môn Toán 11 - Chuyên đề: Dãy số. Giới hạn

 Chuyên đề
 DÃY SỐ - GIỚI HẠN
 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
 DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
 (3 tiết)
A. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Phương pháp quy nạp toán học
 Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta 
thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k 1), chứng minh rằng 
 mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên 
 dương n p, ta thực hiện như sau
 + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
 + ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng 
 minh mệnh đề đúng với n=k+1.
II. Dãy số
 1. Định nghĩa
 u : ¥ * ¡
 dạng khai triển: (u ) = u , u , , u , 
 n u(n) n 1 2 n
 2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
 (un) là dãy số tăng un+1 > un với  n N*.
 un+1 – un > 0 với  n N*
 un 1
 1 với n N* ( un > 0).
 un
 (un) là dãy số giảm un+1 < un với n N*.
 un+1 – un< 0 với  n N* 
 un 1
 1 với n N* (un > 0).
 un
 3. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*.
 (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*.
 (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*.
III. Cấp số cộng
 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai)
 2. Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n 2
 1 Vậy uk 1 chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh.
 Dãy số
Bài 3. Xét tính tăng giảm của các dãy số:
 1 2n 1
 a)u 2 b)u 
 n n n 5n 2
 Giải
 1
 a)u 2
 n n
 1 1 1
 un 1 un 2 2 0,n N *
 n 1 n n(n 1)
 Nên là dãy số giảm.
 2n 1
 b)u 
 n 5n 2
 2
 un 1 5n 2 2n 3 10n 19n 6
 . 2 1,n N *
 un 2n 1 5n 7 10n 19n 7
 Nên là dãy số giảm.
Bài 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số: U1 3 *
 n N
 U n 1 2U n
 Giải
 Ta có: U1=3
 U2=2U1=3.2
 2
 U3=2.U2=3.2
 .....................
 n-1
 Dự đoán: Un=3.2 . Sau đó khẳng định bằng quy nạp.
Cấp số cộng
 u1 u3 u5 10
Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: 
 u1 u6 17
 Giải
 u1 u3 u5 10 u1 2d 10 u1 16
 Ta có: 
 u1 u6 17 2u1 5d 17 d 3
Bài 6. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
 Giải
 Ta có: un u1 n 1 d
 u54 u1 53d
 u4 u1 3d
 Giải hệ phương trình , ta được:.
 143 5
 u1 ,d 
 2 2
 33
 u u 22d 
 23 1 2
Cấp số nhân
Bài 7. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un ) có 5 số hạng, biết: u3 3,u5 27
 3 B. Dãy 1, 3, 5, 9 13, 17.
 C. Dãy các số tự nhiên chẵn.
 D. Dãy gồm các số tự nhiên lẻ và các số tự nhiên chẵn.
 u1 2
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: n . Ta có u5 bằng:
 un 1 2 .un ,n 1
 A. 10. B. 1024. C. 2048. D. 4096.
 1
 u1 
Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: 2 . Khi đó u50 bằng:
 un un 1 2n , n 2
 A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5.
 u1 1
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi: . Khi đó u11 bằng:
 un 2n.un 1 , n 2
 A. 210.11!. B. -210.11!. C. 210.1110. D. -210.1110.
 u1 1
Câu 11: Cho dãy số (un): Ta có u11 bằng:
 un 1 un n , n 1
 A. 36. B. 60. C. 56. D. 44.
 1
 u 
 1 2
Câu 12: Cho dãy số u với . Giá trị của u bằng:
 n 1 4
 un , n = 2, 3, ...
 2 un 1
 3 4 5 6
 A. . B. . C. . D. .
 4 5 6 7
 2 
Câu 13: Cho dãy số (u ) với u ( 1)n 1 cos . Khi đó u bằng:
 n n n 12
 1 3 1 3
 A. . B. . . C. . D. .
 2 2 2 2
 1 n
Câu 14: Cho dãy số (u ) với u . Khi đó u bằng:
 n n 2n 1 n 1
 1 n 2 n 2 n n
 A. u . B. u . C. u . D. u .
 n 1 2n n 1 2n n 1 2n 1 n 1 2n
 u1 1 *
Câu 15: Cho dãy số có n N . Khi đó số hạng thứ n+3 là:
 un 2un 1 3un 2
 A. un 3 2un 2 3un 1. B. un 3 2un 2 3un . C. un 3 2un 2 3un 1. D. un 3 2un 2 3un 1.
 n
Câu 16: Cho dãy số có công thức tổng quát là un 2 thì số hạng thứ n+3 là:
 3 n n n
 A. un 3 2 . B. un 3 8.2 . C. un 3 6.2 . D. un 3 6 .
Câu 17: Cho tổng Sn 1 2 3 .......... n . Khi đó S3 là bao nhiêu?
 A. 3. B. 6. C. 1. D. 9.
 n
Câu 18: Cho dãy số un 1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
 A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. C. Bị chặn. D. Không bị chặn.
 1
Câu 19: Dãy số u là dãy số có tính chất:
 n n 1
 5 3 3 3 3
 S3(n) = 1 + 2 + 3 +  + n
 Ta có :
 3n n 1 n n 1 2n 1 
 A. S n . B. S n .
 1 2 2 3
 n2 n 1 2
 C. S n . D. Đáp án khác.
 3 4
Câu 32: Dãy số nào sau đây là dãy tăng ?
 2n 3 1
 A. u ( 1)n 1 sin . B. u . C. u . D. u ( 1)2n (3n 1) .
 n n n 3n 2 n n n 1 n
 2n 9
Câu 33: Cho dãy số u . Số là số hạng thứ bao nhiêu?
 n n2 1 41
 A. 10. B. 9. C. 8. D. 11.
 1 n 8
Câu 34: Cho dãy số u . Số là số hạng thứ bao nhiêu?
 n 2n 1 15
 A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
 u1 5
Câu 35: Cho dãy số . Số hạng tổng quát của dãy số trên là:
 un 1 un n
 n 1 n n 1 n
 A. u . B. u 5 .
 n 2 n 2
 n n 1 n 1 n 2 
 C. u 5 . D. u 5 .
 n 2 n 2
 u1 1
Câu 36: Cho dãy số 2n Số hạng tổng quát của dãy số trên là:
 un 1 un 1 
 2n
 A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n .
 u1 1
Câu 37: Cho dãy số 2 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là:
 un 1 un n
 n 2n 1 n 1 n 1 n 2n 2 
 A. u 1 . B. u 1 .
 n 6 n 6
 n 1 n 2n 1 n 1 n 2n 1 
 C. u 1 . D. u 
 n 6 n 6
 u1 2
Câu 38: Cho dãy số 1 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là:
 u 2 
 n 1
 un
 n 1 n 1 n 1 n
 A. u . B. u . C. u . D. u .
 n n n n n n n n 1
Câu 39: Cho tổng S n 12 22 ............... n2 . Khi đó công thức của S(n) là:
 n n 1 2n 1 n 1
 A. S n . B. S n .
 6 2
 n n 1 2n 1 n2 2n 1 
 C. S n . D. S n .
 6 6
Câu 40: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+.+(2n-1)-2n+(2n+1) là:
 7 A. u2 = -6 ; u4 = -2. B. u2 = 1 ; u4 = 7. C. u2 = 2 ; u4 = 8. D. u2 = 2 ; u4 = 10.
Câu 55: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác 
không) thì :
 A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng.
 B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng.
 C. c,b,a theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng.
 D. Tất cả các khẳng định trên đều sai.
Câu 56. Cho dãy số un 7 2n . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
 A. Ba số hạng đầu tiên của dãy là: 5;3;1. B. Số hạng thứ n+1 của dãy là 8-2n.
 C. Là CSC với d=-2. D. Số hạng thứ 4 của dãy là -1.
 1 1
Câu 57. Cho CSC có u ,d . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
 1 4 4
 5 4 5 4
 A. s . B. s . C. s . D. s .
 5 4 5 5 5 4 5 5
Câu 58. Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
 u1 1 u1 2 u1 1 u1 3
 A. 3 . B. . C. . D. .
 un 1 un 1 un 1 un n un 1 un 2 un 1 2un 1
Câu 59. Cho cấp số cộng: 6, x - 2, y. Kết quả nào sau đây là đúng?
 x 2 x 4 x 2 x 4
 A. . B. . C. . D. .
 y 5 y 6 y 6 y 6
Câu 60. Xét các câu sau:
 (1) Dãy số u1,u2 ,u3 ,... được gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như u n = un - 1 + d với mọi 
n = 2, 3, 
 (2) Nếu dãy số u1,u2 ,u3 ,... là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như u n = u1 + (n + 1)d với mọi 
n = 2, 3, 
 Trong hai câu trên:
 A. chỉ có (1) đúng. B. chỉ có (2) đúng.
 C. cả hai câu đều đúng. D. cả hai câu đều sai.
Câu 61. Xét các câu sau
 u u
 (1) Dãy số u ,u ,u ,... được gọi là cấp số cộng với công sai d ≠ 0 thì u k 1 k 1 với 
 1 2 3 k 2
mọi k = 2, 3, 
 (2) Nếu dãy số u1,u2 ,u3 ,...,un là cấp số cộng với công sai d ≠ 0, nếu như u1 un uk un k 
với mọi k = 2, 3, , n - 1
 Trong hai câu trên:
 A. chỉ có (1) đúng. B. chỉ có (2) đúng.
 C. cả hai câu đều đúng. D. cả hai câu đều sai.
Câu 62. Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng thứ n là un 1 3n thì công sai d bằng:
 A. 6. B. 1. C. -3. D. 5.
Câu 63: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Cho CSC un có d khác không khi đó:
 A. u2 u17 u3 u16 . B. u2 u17 u4 u15 . C. u2 u17 u6 u13 . D. u2 u17 u1 u19 .
Câu 64. Cho cấp số cộng (un ) có u5 12 và tổng 21 số hạng đầu tiên là S21 504 . Khi đó u1 
bằng:
 A. 4. B. 20. C. 48. D. Đáp số khác.
 9