Ôn tập kiến thức môn Toán 11 - Chuyên đề: Hình học không gian

 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 
 Tiết 1,2,3: QUAN HỆ SONG SONG
I. Kiến thức cơ bản
1. Hai đường thẳng song song :
 Sử dụng một trong các cách sau :
 Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung 
 Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba 
 Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của 
hình bình hành , định lý talet )
 Sử dụng các định lý 
 Chứng minh bằng phản chứng 
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng
 d  
 Phương pháp d // a d // 
 a  
3. Hai mặt phẳng song song
 a  ( ),b  ( )
 Phương pháp a  b M ( ) //( )
 a //( ),b //( )
 a  ( ),b  ( )
 a  b M
 Phương pháp c  ( ),d  ( ) ( ) //( )
 c  d N
 a // c,b // d
II. Kĩ năng cơ bản
 Học sinh vẽ nhanh và chính xác hình vẽ, nhận dạng nhanh yêu cầu của bài toán
 Học sinh nhìn nhận hình vẽ chính xác 
III. Bài tập luyện tập
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là 
trung
 điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
 a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình gì 
 b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
 S
 D' C'
 A'
 B'
 D C
 N
 A M
 B SI (SAB)  (SCD)
 AB  (SAB)
 Ta có : SI // AB // CD (theo định lí 2)
 CD  (SCD)
 AB / / CD
 Xét ASI , ta có : SI // MN (vì cùng song song AB) M là trung điểm AB
 SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do đó : SI // AB
 Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N lần lượt là trung điểm 
các cạnh AB và CD .
 a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
 b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP)
 c. Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của ABC và SBC.Chứng minh G1G2 // (SAB) Giải 
 a. Chứng minh MN // (SBC):
 S
 MN  (SBC)
 Ta có : MN // BC MN //(SBC)
 BC  (SBC)
 P Q
 MN  (SAD)
 Tương tự : MN // AD MN //(SAD) A D
 AD  (SAD)
 b. Chứng minh SB // (MNP): M N
 SB  (MNP) B C
 Ta có : SB // MP SB //(MNP)
 MP  (MNP)
 Chứng minh SC // (MNP):
 Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)
 Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD)
 MN // AD 
 Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q
 PQ = (MNP)  (SAD) 
 Xét SAD , Ta có : PQ // AD , P là trung điểm SA
 Q là trung điểm SD
 Xét SCD , Ta có : QN // SC
 SC  (MNP)
 Ta có : SC // NQ SC //(MNP)
 NQ  (MNP)
 c. Chứng minh G1G2 // (SAB) : PQ  (SBC)
 Ngược lại, nếu MN // BC thì MB  ( ) MN // PQ
 BC  (SBC)
 Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
SA và SD 
 a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)
 b. Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB. 
 Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
 Giải S
 a. Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):
 Xét tam giác SAC và SDB : R
 M
 OM // SC
 Ta có : (OMN) //(SBC)
 ON // SB N A P B
 b. Chứng minh : PQ // (SBC)
 Q
 OP // AD
 Ta có : OP // MN O
 AD // MN
 D C
 M, N, P, O đồng phẳng 
 PQ  (MNO)
 PQ  (MNO)
 Mà PQ //(SBC)
 (MNO) // (SBC)
 Vậy : PQ // (SBC)
 Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) :
 MR // AB
 Ta có : MR // DC (1)
 AB // DC
 Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2)
 MR // DC và OR // SD
 Từ (1) và (2) , ta được MR  (MOR) và OR  (MOR) (MOR) //(SCD)
 DC  (SCD) và SD  (SCD)
Bài 6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng . I , J , K 
lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF. Chứng minh :
 a. (ADF) // (BCE) b. (DIK) // (JBE)
 Giải 
 F K E
 a. (ADF)//(BCE):
 A I B
 D J C A. 450 B. 300 C. 900 D. 600
Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, 
mệnh đề nào có thể sai?
 A. A’C’BD B. BB’BD C. A’BDC’ D. BC’A’D
Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
 A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường 
thẳng c thì a vuông góc với c
 B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d 
vuông góc với a thì d song song với b hoặc c
 C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường 
thẳng c thì a vuông góc với c
 D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c 
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a, b)
   
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ?
 A. 900 B. 600 C. 450 D. 1200
Câu 11: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD, α là góc giữa AC và BM. 
Chọn khẳng định đúng?
 3 1 3
 A. cos B. cos C. cos D. 600
 4 3 6
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và 
BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN
 a 6 a 10
 A. MN = B. MN = 
 3 2
 2a 3 3a 2
 C. MN = D. MN = 
 3 2
Câu 13: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
 A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một 
mặt phẳng
 B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy
 C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm 
trong một mặt phẳng
 D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng
Câu 14: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB,DM) bằng:
 2 3 1 3
 A. B. C. D. 
 2 6 2 2
Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, 
AD. Góc (IE, JF) bằng:
 A. 300 B. 450 C. 600 D. 900
Câu 16: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
 B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường 
thẳng c thì a vuông góc với c
 C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b thì a, b, c 
không đồng phẳng.
 D. Cho hai đường thẳng a và b, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông góc với
Câu 17: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với 
đường thẳng còn lại Tiết 4,5,6 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Kiến thức cơ bản
1. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
 C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
 C2 : a  b góc(a;b) 90o .
 C3: Dùng hệ quả:
 a
 b a  (P)
  a  b
 P b  (P)
 C4: Dùng hệ quả:
 b a
 c b // c , a  b a  c
 C5 : Dùng hệ quả:
 a
 b
 a song song (P)
  a  b
 P b  (P) 
 C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
 C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc 
với cạnh còn lại của tam giác
  AB 
 B   BC
  AC 
 A C
C8:a  b khi 2 vtcp của 2 đt đó vuông góc.
 AB 2 AC 2 BC 2 BA2 BC 2 AC 2
Chú ý:Đlí hàm số cosin cos A ; cos B 
 2.AB.AC 2.BA.BC
2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng 
cắt nhau nằm trong mặt phẳng
 a
 b
 b , c cắt nhau , b,c  (P) , a  b, a  c a  (P)
 c
 P II. Kĩ năng cơ bản
 Học sinh vẽ nhanh và chính xác hình vẽ
 Học sinh nhìn nhận hình vẽ chính xác 
III. Bài tập luyện tập
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD đều. Chứng minh AB vuông góc với CD
Hướng dẫn tóm tắt: dùng tích vô hướng AB.CD 0
 C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB  (MCD)
Bài 2 : Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC. C/M 
 a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
 b. SA vuông góc với BC
Hướng dẫn tóm tắt: a, ABC cân AM  BC.
 b, SAB= SAC(cgc) SB=SC SM  BC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam 
giác BCD
 a. CM: AO  CD
 b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt: a, AO  (BCD) AO  CD
 b.Gọi M là trđ CD AM  CD ,lại có AO  CD CD  (AMB) 
 CD  AB
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là 
trung điểm BC.
 a. chứng minh BC vuông góc AD
 b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
 a.BC  DI và BC  AI nên BC  AD
 b.AH  DI và AH  BC nên AH  (BCD)
Bài 5 : Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.
 a .cm BC  SB
 b.Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. Cm: AH  (SBC), SC  ( 
AHK) 
Hướng dẫn tóm tắt:
 a.BC  AB và BC  SA nên BC  SB
 b. AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC)
 AH  SC và AK  SC nên SC  (AHK)
Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD). Gọi là mặt 
phẳng qua A và vuông góc với SC, cắt SC tại I.
 a. Xác định giao điểm của SO và ( )
 b. Cm: BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và ( )
 c. Xác định giao tuyến của (SBD) và ( )
Hướng dẫn tóm tắt:
 a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và( )
 b.BD  AC và BD  SA nên BD  (SAC) suy ra BD  SC
 c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Tam giác ABC vuông tại B
 a. cm: (SAC)  (ABC)
 b.Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. cm (AHK)  (SBC)