Ôn tập kiến thức môn Toán 11 - Chuyên đề: Lượng giác

 CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC
 CHỦ ĐỀ 1
 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 (3 Tiết)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
 tang T
 Cho (OA,OM) . Giả sử M(x; y) .
 sin
 cos x OH B S cotang
 K
 sin y OK M
 sin 
 tan AT k cosin
 cos 2 O H A
 cos 
 cot BS k 
 sin 
 Nhận xét: 
  , 1 cos 1; 1 sin 1
 tan xác định khi k ,k Z cot xác định khi k ,k Z
 2
 sin( k2 ) sin tan( k ) tan 
 cos( k2 ) cos cot( k ) cot 
 2. Dấu của các giá trị lượng giác
 Phần tư
 I II III IV
 Giá trị lượng giác
 cos + – – +
 sin + + – –
 tan + – + –
 cot + – + –
 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
 1 
 Góc hơn kém Góc hơn kém 
 2
 sin( ) sin sin cos 
 2 
 cos( ) cos cos sin 
 2 
 tan( ) tan tan cot 
 2 
 cot( ) cot cot tan 
 2 
II. Công thức lượng giác
 1. Công thức cộng
 sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa tan a tan b
 tan(a b) 
 1 tan a.tan b
 sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa
 tan a tan b
 cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b tan(a b) 
 1 tan a.tan b
 cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b
 2. Công thức nhân đôi
 sin 2 2sin .c1o s tan 1 tan 
 Hệ quả: tan , tan 
 4 1 tan 4 1 tan 
 cos2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 
 2 tan cot2 1
 tan 2 ; cot 2 
 1 tan2 2 cot 
 1 cos2 3
 sin2 sin3 3sin 4sin 
 2 cos3 4 cos3 3cos 
 2 1 cos2 
 cos 3tan tan3 
 2 tan3 
 1 cos2 2
 tan2 1 3tan 
 1 cos2 
 3. Công thức biến đổi tổng thành tích
 3 + Nếu biết trước cos thì tương tự như trên.
 1
 + Nếu biết trước tan thì dùng công thức: 1 tan2 để tìm cos , lưu ý: 
 cos2 
 1
xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại. sin tan .cos , cot 
 tan 
3. Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
 Sử dụng các hằng đẳng thức đại số (7 hằng đẳng thức đáng nhớ) và các hằng 
đẳng thức lượng giác cơ bản để biến đổi một vế thành vế kia.
biến đổi một vế thành vế kia)
 2 2
sin cos 1 a b 2 a2 2ab b2
 3
tan .cot 1 k ,k ¢ a b a3 3a2b 3ab2 b3
 2 
 a3 b3 a b a2 ab b2
 2 1 
1 tan 2 k ,k ¢ 
 cos 2 a3 b3 a b a2 ab b2 
 1
1 cot2 k ,k ¢ a2 b2 a b a b 
 sin2 
 sin cos 
tan ; cot 
 cos sin 
4. Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:
 + Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ”
 + Chú ý: Với k ¢ ta có:
 sin k2 sin cos k2 cos 
 tan k tan cot k cot 
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Dạng 1:
Bài tập 1.1: Cho . Xác định dấu của các giá trị lượng giác:
 2
 3 
 a) sin b) cos c) tan d) cot 
 2 2 2 
 Giải
 3 3 
 a) vậy sin 0
 2 2 2 2 2 
 5 2 2
 a) Do a nên cos a 0 cos a 
 2 3
 4 2
 sin 2a 2sin a cos a 
 9
 7
 cos2a cos2a sin2 a 
 9
 4 2 7
 tan 2a ;cot a 
 7 4 2
 b) a cos 0,sin 0
 2 4 2 2 2 2
 a 1 cos a a 1 cos a 3 2 2
 sin2 sin 
 2 2 2 2 6
 a 1 cos a 3 2 2
 cos 
 2 2 6
 a a
 t an 3 2 2;cot 3 2 2
 2 2
Bài tập 2.3: Tính cos2a,sin 2a, tan 2a biết:
 5 3 5 4 
a) cos a , a ; cos a , a ; cos a , a 0
 13 2 13 2 5 2
 3 3 
b) sin a , a 
 5 2
 1 3 
c) sin a cos a và a 
 2 4
Hướng dẫn:
 a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.
 12 120 119
 sin a ; sin 2a ; cos2a cos2a sin2 a hoặc cos2a 2cos2 a 1; 
 13 169 169
 120
 tan 2a 
 169
 1 2 1 1 3
 c) sin a cos a sin a cos a 1 sin 2a sin 2a 
 2 4 4 4
 7 t ana tan b 1 1
d) tan a tan b Biến đổi: cot b cot a 
 cot b cot a t anb t ana
e) 2 sin6a cos6a 1 3 sin4a cos4a 
VT sin6 a cos6a 2 sin2a cos2a sin4 a sin2 a cos2 a cos4a 1
 2
 2 sin4 a cos4a 1 2sin2 a cos2 a 2 sin4 a cos4a sin2 a cos2a 2sin2 a cos2 a VP
f) 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x 1
 2
Sử dụng a2 b2 a b 2ab và a3 b3
g) tan2 a sin2 a tan2 a.sin2 a
 2
 sin a 2 2 2
VT 2 sin a sin a 1 tan a 1 VP
 cos a
 sin a 1 cos a 2
h) 
 1 cos a sin a sin a
 2
 sin2 a 1 cos a sin2 a 1 2cos a cos2a
VT VP
 sin a 1 cos a sin a 1 cos a 
i) cos4a sin4 a 2cos2 a 1
Sử dụng a2 b2
 1 sin2 a
j) 1 2 tan2 a ( nếu sin a 1)
 1 sin2 a
 1 sin2 a 1 sin2 a
VP ... VT
 cos2a cos2a cos2a
 sin2 a cos2a 1 cot a
k) 
 1 2sin a cos a 1 cot a
 sin a cos a
 sin a cos a sin a cos a 
VT sin a VP
 sin a cos a 2 sin a cos a
 sin a
l) cot2 a cos2a cot2 a cos2 a
 2 2
 cos2a cos a 1 sin a 
VT cos2a VP
 sin2 a sin2 a
 9 cos x sinx cos2 x sin2 x
Hướng dẫn: ...
 sinx cos x sin x cos x
g) cot x t anx 2cot 2x phân tích như trên
 sin 2x 2sin x cos x
h) t anx Hướng dẫn: VT ...
 1 cos2x cos2 x
 1 cos2x 2sin2 x
i) tan2 x Hướng dẫn: VT ...
 1 cos2x 2cos2 x
 1
j) cos3a sin a sin3 a cos a sin 4a
 4
Hướng dẫn: Tương tự như câu c
 sin3 a cos3a sin 2a
k) 1 Sử dụng hằng đẳng thức a3 b3
 sin a cos a 2
 cos a sin a cos a sin a
l) 2 tan 2a
 cos a sin a cos a sin a
Hướng dẫn: Quy đồng mẫu
 sin 2a 2sin a a
m) tan2
 sin 2a 2sin a 2
 a
Hướng dẫn: sin2a=2sinacosa; đặt nhân tử chung sau đó áp dụng 1 cos a 2sin2
 2
 1 sin a 2 a 
n) cot 
 1 sin a 4 2 
 2 a 
 1 cos a 2cos 
 2 4 2
VT VP
 2 a 
 1 cos a 2sin 
 2 4 2 
 sin 2a sin a
0) t ana
 1 cos2a cos a
 2sin a cos a
Hướng dẫn: VT ...
 2cos2 a cos a
 4sin2 a
p) 
 a a
 1 cos2 16cos2
 2 2
 11