Ôn tập kiến thức môn Toán 12 - Chuyên đề 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng

 CHUYÊN ĐỀ 3
 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
 CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
1. Nguyên hàm
+ Định nghĩa : f (x)dx F(x) C F '(x) f (x)
+ Tính chất : 1/ f '(x)dx f (x) C
 2/ kf (x)dx k f (x)dx
 3/ [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
+ Bảng nguyên hàm
 dx x C a x
 a xdx C(a 0,a 1)
 ln a
 x 1 1
 x dx C dx t anx C
 1 cos2 x
 dx 1
 ln x C dx cot x C
 x sin2 x
 exdx ex C 0dx C
 cosxdx sinx C sinxdx cosx C
2. Tích phân: 
 b
+ Định nghĩa : f (x)dx F(x) b F(b) F(a)
 a
 a
+ Tính chất :
 a b b b
1/ f (x)dx 0 ; 4/ [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
 a a a a
 b a b c b
2/ kf (x)dx f (x)dx 5/ f (x)dx f (x)dx f (x)dx ( a < c < b )
 a b a a c
 b b
3/ kf (x)dx k f (x)dx
 a a
3. Các phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân.
Dạng 1 : Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng định nghĩa.
Dạng 2 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 3 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
+ Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân . x3
b) f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3; Ta có: f(x) = 2 x2 dx 2x C 
 3
 x 3
 Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) = 2x 1 
 3
 Bài 4. Tính các tích phân sau
 1 1 1 1 4
 3 x 3
a) (x 1)dx = (x3 1)dx x3dx dx ( x) 1 
 0
 0 0 0 0 4 4
 2 2 2 2
 x 4x x 2 1 11
b) dx x 4 dx 4x = 2 8 4 
 1 x 1 2 1 2 2
 1 1
c) (ex 2)dx = ex 2x e 2 1 e 1
 0 0
 Bài 5. Tính các tích phân sau:
 2 2 
 (cosx 3sinx)dx (cosx 3sinx)dx sinx + 3cosx 2 2
a) = 0
 0 0
 2 1 3 
b) (3 cos2x).dx = 3x sin x 2 
 2 2
 0 0
 2 2 2 1
c) 2cos x sin 2x dx 2 cos xdx sin2xdx = 2sin x 2 cos2x 2 = 1 
 2
 0 0 0 0 0
 2 1 2 1 2 2 
d) sin3x cos xdx sin4x sin2xdx sin4xdx sin2xdx 
 0 2 0 2 0 0
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 cos4x cos2x = cos2 cos cos0 cos0 
 2 4 2 2 4 2 4 2 
 1 1 1 1 1 1
 = 
 2 4 2 4 2 2
Bài 6. Tính các tích phân sau:
 2 1 2 3 3
 2 2 2 x 1 x 2 1 8 1
a) x 1dx x 1 dx x 1 dx x x = 1 2 1 2
 0 0 1 3 0 3 1 3 3 3
 0 
 3 0 3 1 3
b) sin xdx sin xdx sin xdx cos x cos x 3 = 1 1 
 2 2
 0 0
 2 2 2
 2 2 4 2
 2
c) cos x sin x dx cos x sin xdx = cos x sin x dx sin x cos x dx
 0 0 0 
 4 2x3 3 x3 1
C. 2x C D. 2x C .
 3 x 3 x
Câu 8. Nguyên hàm A 2x.32x dx bằng
 12x 14x 16x 18x
A. C B. C C. C D. C .
 ln12 ln14 ln16 ln18
Câu 9. Nguyên hàm cot2 x dx bằng
A. tanx + x + C B. –tanx + x + C C. –cotx – x + C D. cotx + x + C.
Câu 10. Nguyên hàm tan2 x dx bằng
A. cotx – x + C B. cotx + x + C C. tanx – x + C D. tanx + x + C
 x
Câu 11. Nguyên hàm 3sin2 dx bằng
 2
 3 3 3 x
A. (x sin x) C B. x sin x C C. x sin x C D. sin3 C
 2 2 2 2
 5 dx
Câu 12. Giả sử lnc . Giá trị của c là
 1 2x 1
A. 3B. 4C. 9D. 16.
 2
Câu 13. Tích phân (x2 2x 3)dx bằng
 1
 4 5 7 8
A. B. C. D. .
 3 3 3 3
 6
Câu 14. Tích phân x 2 dx bằng
 2
 14 16 17 18
A. B. C. D. .
 3 3 3 3
 1 dx
Câu 15. Tích phân bằng
 0 (1 x)3
 3 5 7 9
A. B. C. D. .
 8 8 8 8
 1 x
Câu 16. Tích phân dx bằng
 0 x 1
A. ln2 B. ln3 C. 1 – ln2 D. 1 – ln3.
 1 2x 9
Câu 17. Tích phân dx bằng
 0 x 3
A. ln2 – ln3B. ln3 – ln2C. 6ln3 – 3ln2D. 3 + 6ln2 – 3ln3.
 1 x
Câu 18. Tích phân dx bằng
 0 4 x2
 4 3 3 3
A. ln B. ln C. ln D. ln .
 3 5 4 5
Câu 19. Tích phân 2 cosx dx bằng
 0
A. 0B. 1C. D. 
 2
Câu 20. Tích phân cos x dx bằng
 0 BUỔI 2
 DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
1. Nguyên hàm
 Tính I = f [u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) dt u'(x)dx
 I = f [u(x)].u'(x)dx f (t)dt
 b
2. Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx bằng phương pháp đổi biến.
 a
 Bước 1: Đặt t = (x) dt = '(x). dx
 Bước 2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b)
 Bước 3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
+ Biết cách đặt ẩn phụ
+ Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận đối với tích phân.
+ Biết sử dụng tính chất, công thức vào giải toán.
C. BÀI TẬP 
1. NGUYÊN HÀM
 Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 1
a) x 2 1.xdx Đặt u x2 1 du 2xdx xdx du 
 2
 3
 1 1 3 2
 1 1 1 2 u 1 3
=> x 2 1.xdx = u 2 . du u 2 du u 2 . C = x2 1 C
 2 2 2 3 3 3
 3 4 2 1
b) x 5 x dx Đặt u x3 5 du 3x2dx x2dx du
 3
 5
 4 5 5 3
 3 2 1 4 1 4 1 u u x 5 
=> x 5 x dx = u du u du . C C = C
 3 3 3 5 15 15
 x 1
c) dx Đặt u x2 5 du 2xdx xdx du
 x 2 5 2
 x 1 1 1 1 2
=> 2 dx = . du ln u C ln x 5 C
 x 5 2 u 2 2
 dx
d) Đặt u = 2x-1=>du = 2dx 
 2x 1
 1 1 1
 1 1
=> dx = u 2 du .2u 2 C u 2 C u C 2x 1 C
 2x 1 2 2
 x2 2x 3 du
e) x 1 e dx ; Đặt u x2 2x 3 du 2(x 1)dx x 1 dx 
 2 2 dt
d) D = 4 x2 xdx Đặt t 4 x2 dt 2xdx xdx 
 0 2
 Khi x = 0=> t = 4 ; x = 2 => t = 0
 0 1 1 4 1 1 2 3 4 1 4 1 8
=> D tdt t 2 dt t 2 t t 4.2 0 
 4 2 2 0 2 3 0 3 0 3 3
 4
 e x 1 dx
e) E dx Đặt t x dt dx 2dt
 1 x 2 x x
 2 2
 Khi x = 1=> t = 1 ; x = 4 => t = 2 ; => E 2.et dt 2et 2 e2 e 
 1 1
 2 sin2x
f) F dx Đặt t sin2 x dt 2sin x cos xdx sin2xdx
 2
 0 1 sin x
Khi x 0 sin2 0 0 t 0; x sin2 1 t 1
 2 2
 1 dt 1
=> F ln 1 t ln 2 ln1 ln 2
 0 1 t 0
 ln 2
 x 2 x
g) G = e 1 .e dx ( Đề thi TN năm 2011-2012)
 0
 x x
 Đặt t e 1 dt e dx ; Đổi cận : Khi x = 0 => t = 0 ; x ln 2 t 1
 1 t 3 1
=> G = t 2 dt 1 
 0
 0 3 3
D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Nguyên hàm (5x 3)5 dx bằng
 x6 x5 x4 x3
A. C B. C C. C D. C .
 30 25 24 20
Câu 2. Nguyên hàm sin4 x.cosx dx bằng
 cos5 x sin5 x
A. C B. C C. cos5 x C D. sin 5x + C. 
 5 5
 ex
Câu 3. Nguyên hàm dx bằng
 ex 1
 ln x
A. lnex + C B. + C C. ln(ex – 1) D. ln(ex + 1).
 ln ex
 x3
Câu 4. Nguyên hàm dx bằng
 (6x4 5)5