Ôn tập kiến thức môn Toán 12 - Chuyên đề II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

 CHUYÊN ĐỀ II:
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
Chủ đề 2.1:Lũy thừa, mũ, logarit
 A. Kiến thức cơ bản
 I. Lũy thừa 
 1. Định nghĩa lũy thừa 
 Số mũ Cơ số a Lũy Thừa a 
 n N * a R a an a.a......a (n thừa số a)
 0 a 0 a a 0 1
 1
 n( n N * ) a 0 a a n 
 a n
 m
 m *
 (m Z,n N ) a 0 n n m n n
 n a a a ( a b b a)
 *
 rn
 lim rn (rn Q,n N ) a 0 a lim a
2. Tính chất của lũy thừa 
 với mọi a > 0, b > 0 ta có : 
 a a a 
 a .a  a  ; a  ; (a )  a . ; (ab) a .b ; 
 a  b b 
 a > 1 : a a  ; 0 < a < 1 : a a 
 Với 0 < a < b ta có :
 am bm m 0 ; am bm m 0
 Chú ý: + Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 
 + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương 
3. Định nghĩa và tính chất của căn bậc n 
 Căn bậc n (n N*, ) của a là số b sao cho bn a .
 nếu n là số nguyên dương lẻ thì n a xác định a , nếu n là số nguyên dương chẵn thì n a xác 
 định a 0
 n n a a 0
 n là số nguyên dương lẻ an a a , n là số nguyên dương chẵn an a 
 a a<0
 Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có : - Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức 
 - Đưa biểu thức về dạng lũy thừa
 - So sánh lũy thừa
 - Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho 
 - Chứng minh đẳng thức
C. Bài tập luyện tập
 Bài 1 Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa 
 b a
a) 4 x2 3 x , x 0 b) 5 3 , a,b 0 c) 5 23 2 2
 a b
 Bài 2 Tìm điều kiện và rút gọn các biểu thức sau 
 1,5 1,5
 a b 0,5 0,5 1 1 1 1 3 1
 a b 0,5
 a0,5 b0,5 2b x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2y
a) b) . 
 a b a0,5 b0,5 1 1 1 1 x y x y
 xy 2 x 2 y xy 2 x 2 y 
 3 a 3 b
c) (a,b>0 , a ≠ b)
 6 a 6 b
 Bài 3 So sánh m và n 
 m n
 m n 1 1 
 a) 2 2 b) 
 9 9 
 Bài 4 Tìm điều kiện của a và x biết 
 2 1 0,2
 1 2
a) a 1 3 a 1 3 b) a
 a 
 x 1
 x 5 5 2 8
c) 4 1024 d) 
 2 5 125
 x
 x 1 
e) 0,1 100 f) 3 0,04
 5 
 Bài 5. Rút gọn biểu thức :
 1/3
 log 3 a.log 4 a
 a) log 3 a (a > 0) b ) a a ( 0 a 1)
 a 7
 log1 a
 a
 Bài 6: Tính giá trị biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho :
a) Cho log2 14 a . Tính log49 32 theo a.
b) Cho log15 3 a . Tính log25 15 theo a. 2 3 6
 A. B. C. D. 3
 5 5 5
Câu 7: Nếu log2 x 5log2 a 4 log2 b (a, b > 0) thì x bằng :
 A. a5b4 B. a4b5 C. 5a + 4b D. 4a + 5b
 2 3
Câu 8 : nếu log7 x 8log7 ab 2 log7 a b (a, b > 0) thì x bằng :
 A. a4b6 B. a2b14 C. a6b12 D. a8b14
Câu 9: Cho log2 = a. Tính log25 theo a?
 A. 2 + a B. 2(2 + 3a)C. 2(1 - a) D. 3(5 - 2a)
Câu 10 : Cho log 2 5 a; log3 5 b . Khi đó log6 5 tính theo a và b là :
 1 ab
 A. B. C. a + b D. a2 b2
 a b a b
Câu 11 : Cho hai số thực dương a và b, với a 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
 1 1
A. log 2 ab log b. B. log 2 ab log b. 
 a 2 a a 4 a
 1 1
C. log ab 2 2loga b. D. log 2 ab loga b.
 a2 a 2 2
 32
Câu 12. Cho log2 = a . Tính log 4 theo a, ta được:
 5
 1 æ6 ö 1 1 1
 A. ça - 1÷. B. (5a- 1).C. (6a- 1). D. (6a + 1).
 4 èç ø÷ 4 4 4
 2log a
Câu 13. Rút gọn biểu thức P = 3 3 - log a2.log 25 (0 < a ¹ 1) , ta được:
 5 a
 A. P = a2 + 4 . B. P = a2 - 2 . C. P = a2 - 4 .D. P = a2 + 2 .
 2
Câu 14: Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: 
 7 5 6 11
 A. a 6 B. a 6 C. a 5 D. a 6
 4
Câu 15: Biểu thức a 3 : 3 a2 viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:
 5 2 5 7
 A. a 3 B. a 3 C. a 8 D. a 3
Câu 16: Biểu thức x.3 x.6 x5 (x > 0) viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: Chủ đề 2.2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit
 A. Kiến thức cơ bản
 I. HÀM SỐ LŨY THỪA
 a) ĐN: Hàm số có dạng y x với R
 b) Tập xác định:
 D = R với nguyên dương
 D R\ 0 với nguyên âm hoặc bằng 0
 D = 0; với không nguyên
 c) Đạo hàm
 Hàm số y x ( R ) có đạo hàm với mọi x > 0 và x ' x 1
 d) Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng 0; 
Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)
Khi > 0 hàm số luôn đồng biến, khi < 0 hàm số luôn nghịch Biến
Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi > 0. khi < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, 
tiệm cận đứng là trục Oy.
II. HÀM SỐ MŨ
a) ĐN: Hàm số có dạng y ax (0 a 1)
b) Tập xác định: D = R, tập giá trị 0; 
c) Đạo hàm: Hàm số y ax (0 a 1) có đạo hàm với mọi x và 
 ax ' ax ln a , Đặc biệt: ex ' ex
d) Sự biến thiên:
 Khi a > 1: Hàm số đồng biến
 Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến
e) Đồ thị: đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0; 1), (1; a) và nằm về 
 phía trên trục hoành
f) Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho 
 kì hạn sau.
 Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách 
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ¥ * ) là: 
 n
 Sn A 1 r (2)
Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được: 2 2 2
c,(31 x )’ = 31 x .(ln3). (1-x2)’ = -2x.31 x .ln3
Bài 2: Tìm TXĐ của các hàm số sau: 
 2
 a, y = x3 b, y = x -3 c, y = x 3 d, y = x 2 
HD:
a, y = x3 có D = R (vì = 3 nguyên dương)
b, y = x -3 có D = R\{0} (vì = - 3 nguyên âm)
 2
c, y = x 3 ( hữu tỉ);
d, y = x 2 ( vô tỉ) nên có D = R+ = (0;+ )
Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
 3
 a, y= x 4 (x>0) b, y= 3 1 x2 ( 1 x 1)
HD:
 3 3 1
 3 1 3 3 3
+ (x 4 )' x 4 = x 4 = = 
 4 4 1 44 x
 4x 4
 1 2
 1 2x
 +( 3 1 x2 )’=[ (1 x2 )3 ]’= (1 x2 ) 3 .(-2x) =
 3 33 (1 x2 )2
Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a, y 22x 3 b, y x2 2x 2 ex 
HD
 2x 3
 a , y’ = 2.2 .ln 2
 2 x
 b, y ' x e 
Bài 5: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.
a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
 5
b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép % /tháng thì sau 10 năm chú Việt 
 12
nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?
HD 2
 2 (3x 5)' 6x
b, [log2(3x - 5)]’ = = 
 (3x2 5).ln 2 (3x2 5).ln 2
 D. Bài tập TNKQ
 2
Câu 1: Đạo hàm của hàm số y 3x 1 là:
 2 1 2 1 1 2 3 2
 A. 3 2 3x 1 B. 3 2 3x 1 C. 3 2 3x 1 D. 
 2 1
 3x 1 
 3
Câu 2: Tập xác định của hàm số y x 3 2 4 5 x là:
 A. D 3; . B. D 3;5 . D 3; \ 5 D. D 3;5 .
 C.  
 4
Câu 3. Hàm số y 4x2 1 có tập xác định là:
 1 1  1 1 
 A. R B. (0; + ) C. R\ ;  D. ; 
 2 2  2 2 
Câu 4 Hàm số nào sau đây là đạo hàm của hàm số ?
 A. B. C. D. 
 2
Câu 5: Hàm số y 2ln x x có đạo hàm y' là:
 1 ln x x2 1 ln x x2
 A. 2x 2 . B. 2x 2 ln 2.
 x x 
 2 2
 2ln x x 1 2ln x x
 C. . D. 2x .
 ln 2 x ln 2
Câu 6: Đạo hàm của hàm số y e x sinx là:
 sinx x x
 A. y ' +cos x e . B. y ' sinx +cos x e .
 2 x 
 sinx x x
 C. y ' -cos x e . D. y ' sinx -cos x e .
 2 x