Ôn tập kiến thức môn Toán 12 - Chuyên đề: Số phức (12 tiết) - THPT Nguyễn Văn Huyên

 Nhóm trường:
THPT Nguyễn Văn Huyên
THPT Tháng 10
THPT Thượng Lâm
 CHUYÊN ĐỀ
 SỐ PHỨC (12 tiết)
Tiết 1, 2, 3
 DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
A. Kiến thức cơ bản.
1. Khái niệm số phức 
 Số phức (dạng đại số) : z a bi 
 (a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
 z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
 z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
 Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
 Tập hợp số phức: £ z a bi,a,b ¡ ,i2 1
 a a '
 Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i (a,b,a ',b' R)
 b b'
Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 -1; i4k 3 -i
2. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi
 z1 z1 2 2
 z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; ; z.z a b
 z2 z2
 z là số thực z z ; z là số ảo z z
3. Môđun của số phức : z = a + bi 
  
 z a 2 b2 zz OM
 z 0, z C , z 0 z 0
 z z
 z.z ' z . z ' z z ' z z ' z z '
 z ' z '
4. Các phép toán trên số phức.
* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức.
 Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
 z z ' (a a') (b b')i
 z z ' (a a') (b b')i 
 zz ' aa' bb' (ab' a'b)i
* Phép chia số phức khác 0.
 Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
 1 1
 Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z-1= z z
 a2 b2 z 2
 a + bi aa' - bb' ab' a 'b
 Chia hai số phức: i .
 a'+ b'i a '2 b'2 a '2 b'2
B. Kĩ năng cơ bản.
Tìm phần thực và phần ảo , mô đun, số phức liên hợp của số phức
Phương pháp giải
 1 2
 2 3 1 3 1 2 3 1 3
 (z ) = i i i i
 2 2 4 4 2 2 2
 3 2 1 3 3 1 3 1 3 3
 ()z =(z ) . z = i i i i i
 2 2 2 2 4 2 4 4
 3 1 1 3 3 3 1 3
 Ta có: 1 + z + z2 = 1 i i i
 2 2 2 2 2 2
 3
 1 3i 
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z . Tìm môđun của số phức z iz.
 1 i
Giải: 
 3 8
 Ta có: 1 3i 8 Do đó z 4 4i z 4 4i
 1 i
 z iz 4 4i 4 4i i 8 8i Vậy z iz 8 2.
* Hai số phức bằng nhau:
Bài 7: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:
 a) 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i 
 b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i.
 3
 c) x 3 5i y 1 2i 35 23i
Giải: 
 a) Theo giả thiết: 
 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
 1
 x 
 3x y 2y 1 7
 5x x y 4
 y 
 7
 9
 x 
 2x 3y 1 3x 2y 2 x 5y 1 11
 b) Theo giả thiết ta có: 
 x 2y 4x y 3 5x 3y 3 4
 y 
 11
 3 2
 c) Ta có 1 2i 1 2i 1 2i 3 4i 1 2i 2i 11.
 3
Suy ra x 3 5i y 1 2i 35 23i x 3 5i y 2i 11 35 23i
 3x 11y 35 x 3
 3x 11y 5x 2y i 35 23i 
 5x 2y 23 y 4
* Tính in và áp dụng: Chú ý:
 i 4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n N*Vậy in {-1;1;-i;i},  n N*
 2
 (1 i)2 2i ; 1 i 2i
Bài 8: Tính: i105 + i23 + i20 – i34
Giải: 
 Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
 3 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i
 2a 1 2bi 1 i a 1 bi 1 i 2 2i
 2a 2b 1 2a 2b 1 i a b 1 a b 1 i 2 2i
 1
 a 
 3a 3b 2 3 1 1
 3a 3b a b 2 i 2 2i z i
 a b 2 2 1 3 3
 b 
 3
 2
Suy ra mô đun: z a2 b2 
 3
 2 2
Bài 14: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2z.z z 8 và z z 2 .
Giải
 2 2
Gọi z = x + iy (x, y R), ta có z x iy; z z zz x2 y2 
 2
 z 2 2z.z z 8 4(x2 y2 ) 8 (x2 y2 ) 2 (1)
z z 2 2x 2 x 1 (2)
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = 1
Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i
Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn z 2 và z2 là số thuần ảo.
Giải:
 Gọi z= a+ bi (a, b R ) Ta có z a2 b2 và z2 a2 b2 2abi
 a2 b2 2 a2 1 a 1
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 
 2 2 2 
 a b 0 b 1 b 1
Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Bài 16: (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z 
thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 .
 Hướng dẫn giải
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi , x, y ¡ .
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 
Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 
Ta có: z 2 z 2 10 MB MA 10 .
Ta có AB 4 . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A 2;0 , 
B 2;0 , tiêu cự AB 4 2c , độ dài trục lớn là 10 2a , độ dài trục bé là 
2b 2 a2 c2 2 25 4 2 21 .
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 10 là Elip có 
 x2 y2
 phương trình 1.
 25 21
 5 Câu 3. (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 5 và 
 z
 là số thuần ảo ? 
 z 4
A. 0 B. Vô sốC. 1 D. 2
Giải: Đáp án C
Đặt z x yi,(x, y R) 
 z 3i x2 (y 3)2 5 x2 y2 6y 16 
 z x yi (x yi)(x 4 yi) x2 4x y2 4yi
 z 4 x 4 yi (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2
 z x2 4x y2
 là số thuần ảo nên 0 x2 4x y2 0 
z 4 (x 4)2 y2
 x 4
 (loai)
 y 0
 2 2
 x y 6y 16 16
 16 24
Ta có hệ: 2 2 x z i 
 x y 4x 0 13 
 13 13
 24
 y 
 13
Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn
Câu 4. (Vận dụng)Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i . Tìm số phức có 
 môđun nhỏ nhất?
 1 2 1 2
 A. z 1 2i . B. z i . C. z i . D. z 1 i .
 5 5 5 5
 Hướng dẫn giải
 Chọn C.
 Phương pháp tự luận
 Giả sử z x yi x, y ¡ 
 z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 2 x 2 2 y 1 2
 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0 x 2y 1
 2
 2 2 2 2 2 2 1 5
 z x y 2y 1 y 5y 4y 1 5 y 
 5 5 5
 5 2 1
 Suy ra z khi y x 
 min 5 5 5
 1 2
 Vậy z i.
 5 5
 Phương pháp trắc nghiệm
 Giả sử z x yi x, y ¡ 
 z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i x2 y 3 2 x 2 2 y 1 2
 6y 9 4x 4 2y 1 4x 8y 4 0 x 2y 1 0
 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z 2 i là đường thẳng 
 d : x 2y 1 0 .
 Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A.
 7 A. 1 và 2. B. 2 và 1. C. 1 và 2i. D. 1 và i .
Câu 8. Cho số phức z 1 3i. Số phức z2 có phần thực là
 A. 8. B. 10. C. 8 + 6i. D. 8 + 6i.
 3 4i
Câu 9. Phần thực của số phức z bằng
 4 i
 16 3 13 3
 A. . B. . C. . D. .
 17 4 17 4
 1 2i 2
Câu 10. Phần ảo của số phức z là
 3 i 2 i 
 1 7 i 7
 A. . B. . C. . D. .
 10 10 10 10
 2
Câu 11. Tìm z biết z 1 2i 1 i ?
 A. 2 5 . B. 2 3 C. 5 2 D. 20 . 
 2
Câu 12. Cho z . Số phức liên hợp của z là 
 1 i 3
 1 3 1 3 1 3 1 3
 A. i . B. i . C. i . D. i .
 2 2 4 4 4 4 2 2
 1 i 1 i
Câu 13. Cho số phức z . Trong các kết luận sau kết luận nào sai?
 1 i 1 i
 A. z R . B. z là số thuần ảo.
 C. Mô đun của z bằng 1. D. z có phần thực và phần ảo đều bằng 0.
 1
Câu 14. Cho số phức z m ni 0. Số phức có phần thực là
 z
 m n m n
 A. . B. . C. . D. .
 m2 n2 m2 n2 m2 n2 m2 n2
Câu 15. Cho số phức z , Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
 A. z z . B. z z là một số thuần ảo .
 C. z.z là một số thực . D. mođun số phức z là một số thực dương.
Câu 16. Cho số phức z x yi . Số phức z2 có phần thực là
 A. x2 y2. B. x2 y2. C. x2. D. 2xy.
 2
Câu 17. Cho số phức z thỏa mản 1 i 2 i z 8 i 1 2i z . Phần thực và phần ảo của số 
 phức z lần lượt là:
 A. 2;3. B. 2; 3. C. 2;3. D. 2; 3.
 1 i2017
Câu 18. Tính z .
 2 i
 3 1 1 3 1 3 3 1
 A. i . B. i . C. i . D. i .
 5 5 5 5 5 5 5 5
 1
Câu 19. Trên tập số phức, tính 
 i2017
 A. i . B. i . C. 1. D. 1.
Câu 20. Tổng ik ik 1 ik 2 ik 3 bằng:
 A. i . B. i . C. 1. D. 0 .
 9