Ôn tập kiến thức môn Toán 12 - Chuyên đề: Thể tích khối đa diện

 CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHỦ ĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN S
1.Một số công thức tính thể tích: 
 1
- Thể tích của khối chóp: V .B.h 
 3 C
Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
 A
 H
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB, S
S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có: B'
 C'
 V SA' SB' SC ' A'
 S.A' B 'C ' . .
 V SA SB SC C
 S.ABC A
2. Một số kiến thức bổ trợ: 
*) Diện tích hình phẳng B
2.1. Tam giác thường:
 1 1 abc
* S AH.BC absinC p( p a)( p b)( p c) pr. 
 2 2 4R
* p là nủa chu vi, R bán kính đường tròn ngoãi tiếp , r là bán kính đường tròn nọi tiếp.
2.2. Tam giác đều cạnh a:
 a 3 a 2 3
a) Đường cao: h = ; b) S = 
 2 4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
2.3. Tam giác vuông:
 1
a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
 2
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
2.4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
 1
a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2
 2
2.5. Nửa tam giác đều:
 A
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
 a 3 a 2 3
b) BC = 2AB c) AC = d) S = 
 2 8 60o 30o
 1 B C
2.6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
 2
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
2.7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
 B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp
 B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
 1
 B 3: Áp dụng công thức V = B.h
 3
Chú ý: Đường cao hình chóp. 
1/ Chóp có cạnh bên vuông góc, đường cao chính là cạnh bên.
2/ Chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy; đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
3/ Chóp có mặt bên vuông góc đáy đường cao nằm trong mặt bên vuông góc đáy.
4/ Chóp đều, đường cao từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
5/ Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh xuống mặt đáy , đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1. 
 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD. 
 a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
 b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
 Giải:
 a) Gọi E là trung điểm của BC và O là tâm của 
 ABC .Vì ABCD là tứ diện đều nên DO  (ABC) và 
 2 2a 3
 AE  BC và O AE, AO AE D
 3 3
 Trong vuông DAO : DO AD2 AO2
 M
 2a 3 2a 6
 (2a)2 ( )2 
 3 3
 2a 2 3
 Mặt khác: S a2 3 , A
 ABC 4 C
 H
 Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là O
 3 E
 1 1 2 2a 6 2a 2
 V SABC .DO .a 3. B
 3 3 3 3 
 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là 
 1 a 6
 MH ; MH DO 
 2 3
Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông.
 0
a. Biết AB=2a , SA  ABCD và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 60
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 300 1
 c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM AD .Tính V theo a.
 4 S.ABM
 Giải:
 a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là trung 
 3a 3 S
 điểm của AB nênSH  AB và SH 
 2
 Khi đó Ta có :
 SAB  ABCD 
 SH  AB SH  ABCD 
 SH  SAB B C
 2 2
 b. Mặtkhác: SABCD 3a 9a H
 Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là A M D
 1 1 3a 3 9a3 3
 V S .SH .9a2. 
 S.ABCD 3 ABCD 3 2 2
 1
 c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn AM AD nên.Tính 
 4
 1 1 1 1 9a2
 S .S . S S 
 V ABM 4 V ABD 4 2 ABCD 8 ABCD 8
 Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là 
 1 1 9a2 3a 3 9a3 3
 V S .SH . . 
 S.ABM 3 ABM 3 8 2 16
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) 
tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
* Hạ SH  (ABC) và kẻ HM  AB, HN  BC, HP  AC
 
* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là = SMH 
= 600 
* Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có 
 S
chung 1 cạnh 
 góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội 
tiếp ABC
 1 1
* Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH
 3 3
 P 7a
* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c) A C
 = p(p AB)(p BC)(p CA) (công thức Hê-rông* 60
 H 6a
 M N
 5a 6a 7a 2
Tính: p = 9a Suy ra: SABC = 6 6a 5a
 2
 0 B
 * Tính SH: Trong V SMH tại H, ta có: tan60 = Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có SA a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và 
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là:
 6a3 6a3 6a3 6a3
 A. B. C. . . . D. .
 4 24 12 8
Câu 14: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên tạo với 
đáy một góc bằng 600. Thể tích của khối chóp đó là:
 3 2 9 6 9 3 3 6
 A. B. C. D. 
 2 2 2 2
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC=a, biết SA vuông góc 
với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 600 . Thể tích khối chóp S.ABC là
 a3 6 a3 6 a3 6
A. Ba.3 C.6 D. 
 6 12 24
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy, mặt 
bên (SCD) hợp với đáy một góc 600 . Thể tích khối chóp S.ABCD là
 a3 3 a3 3 a3 3
A. B.a3 C.3 D. 
 2 3 4
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tỉ số thể tích của 
khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD là
 1 1 1 1
A. B. C. D. 
 2 4 6 8
Câu 18: Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và các cạnh đáy bằng 20 cm, 21 cm, 29 
cm. Thể tích của hình chóp đó bằng
A. 6000cm3 B. 6213cm3 C. 7000cm3 D. 7000 2 cm3 
Câu 19: Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Thể tích khối chóp S.ABC là ( biết cạnh bên 
bằng 2a) 
 a3 11 a3 3 a3 a3
A. V B. V C. V D. V 
 S.ABC 12 S.ABC 6 S.ABC 12 S.ABC 4
Câu 20: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác SAB cân tại S và nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là (biết góc giữa SC và (ABCD) 
bằng 600)
 9a3 15
 A. V 18a3 3 B. V C. V 9a3 3 D. V 18a3 15
 S.ABCD S.ABCD 2 S.ABCD S.ABCD
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành có M và N theo thứ tự là trung điểm 
 V
SA, SB. Khi đó bằng:S.CDMN
 V
 S.CDAB CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Kiến thức cơ bản
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c Trong đó a,b,c là ba kích thước.
 Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V a3 
 Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
- Thể tích khối lăng trụ: V B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao
2. Kiến thức bổ trợ
Tương tự chủ đề 1
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
 B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
 B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
 B3: Áp dụng công thức V B.h
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15
 A' C'
 Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 
 a và chiều cao bằng 2a 15 là ABCA’B’C’. B'
 Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
 a2 3 3a3 5
 V AA'.S 2a 15. 
 ABCA'B'C' ABC 4 2
 a3 6 A
 (đvtt) C
 12
 B
Bài tập 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ 
cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ
 Giải: 
 a. Gọi H là hình chiếu  của A’trên (ABC). Do 
 A’A=A’B=A’C nên H là tâm của tam giác đều ABC. A' C'
 a 3 0
 Ta có AH= và A· 'AH=60 
 3 B'
 Trong vuông AA’H ta có 
 a 3
 A’H = AH. tan600 = . 3 a A
 3 C
 H M
 2
 a 3 B
 S = 
 ABC 4
 Vậy Thể tích khối lăng trụ là