Tài liệu Ôn tập kiến thức Đại số 8 - Chủ đề: Phương trình bậc nhất một ẩn - Đặng Đức Hùng

 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ......................... Tài liệu hướng dẫn hs tự học .......................................... Môn: Đại số 8 
 CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phần 1: Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
1/ Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0 được gọi là phương 
trình bậc nhất một ẩn. 
2/ Phương pháp giải: 
- Áp dụng qui tắc chuyển vế, đưa các hạng tử chứa biến về 1 vế, hạng tử tự do về 1 vế.
- Dùng qui tắc nhân để tìm nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải pt: 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x 2,25x – 2x – 0,4x = 5 – 3 – 2,6 
 -0,15x = -0,6 x = 4
3/ Bài tập:
Bài tập 1: Giải các pt sau: 1/ 7x – 8 = 4x + 7 2/ 2x + 5 = 20 – 3x 3/ 5y + 12 = 8y + 27
 4/ 13 – 2y = y – 2 5/ 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
Bài tập 2: Chứng tỏ rằng các pt sau vô nghiệm: 1/ 2(x + 1) = 3 + 2x 2/ 2(1 – 1,5x) = -3x
Bài tập 3: Xác định m để pt sau nhận x = -3 làm nghiệm: 3x + m = x – 1 
Bài tập 4: Cm các pt sau có vô số nghiệm: 1/ 5(x + 2) = 2(x + 7) + 3x – 4 2/ (x + 2)2 = x2 + 2x + 2(x + 2)
Phần 2: Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
1/ Cách giải: - Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu
 - Thực hiện các phép tính và chuyển vế đưa về dạng ax + b = 0
 - Giải phương trình và kết luận
2/ Chú ý các kiến thức liên quan:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ. Cách giải pt chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản. Các quy tắc về đổi dấu
3/ Bài tập:
Loại 1: Sử dụng các phép biến đổi để giải một số phương trình đơn giản
Cách giải: Thực hiện các quy tắc chuyển vế đổi dấu, quy tắc nhân, hằng đẳng thức, quy đồng mẫu thức 
 để biến đổi phương trình về dạng ax + b = 0
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 2x 3 2 3x 10x 3 6x 8
a) 7x – 4 = 3x + 12 b) 3x – 6 + x = 9 – x c) d) 1 
 4 2 12 9
Lời giải:
a) 7x – 4 = 3x + 12 4x = 16 x = 4. Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4}
b) 3x – 6 + x = 9 – x 5x = 15 x = 3. Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}
 2x 3 2 3x 7 7 
c) 2x – 3 = 4 + 6x 4x = -7 x = . Vậy pt có tập nghiệm S = 
 4 2 4 4 
 10x 3 6x 8 30x 9 36 24x 32
d) 1 30x + 9 = 36 + 24x + 32 6x = 59 
 12 9 36 36 36
 59 59
 x = . Vậy phương trình có tập nghiệm S = 
 6 6 
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
 5x 4 2 3x 7x 1 16 x
a) 4x – 5 = x = 7 b) 10x – 12 – 3x = 6 + x c) d) 2x 
 3 2 6 5
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
 3x 1 6x 2 1 3x x 4 x 2 x
a/ b/ x 3 
 4 8 6 4 3 6
 2x 3 x 6 4x 3 (x 1)(x 5) (x 2)(x 5) (x 1)(x 2)
c/ 17 d/ 
 3 6 5 3 12 4
Ví dụ 2: Giải phương trình: (1 – x)2 + (x + 2)2 = 2x(x – 3) – 7 
Lời giải:
 3
(1 – x)2 + (x + 2)2 = 2x(x – 3) – 7 1 – 2x + x2 + x2 + 4x + 4 = 2x2 – 6x – 7 8x = -12 x = 
 2
 Gv: Đặng Đức Hùng . Trang 1 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ......................... Tài liệu hướng dẫn hs tự học .......................................... Môn: Đại số 8 
 1 1 1 1 
 (x + 13) = 0 x + 13 = 0 x = -13
 3 4 5 6 
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-13}
 x 19 x 13 x 7 x 1 x 19 x 13 x 7 x 1
d/ 3 3 3 3 x = -28
 3 5 7 9 3 5 7 9 
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-28}
 x 342 x 323 x 300 x 273
e/ 10
 15 17 19 21 
 x 342 x 323 x 300 x 273
 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0 x = 357
 15 17 19 21
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {357}
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
 x 81 x 82 x 84 x 85 x 22 x 21 x 20 x 19
a/ b/ 4
 19 18 16 15 8 9 10 11
 x 12 x 13 x 15 x 16
c/ 
 7 6 4 3
Loại 3: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Cách giải: Tùy thuộc vào mỗi phương trình mà ta có thể lựa chọn cách đặt ẩn phụ phù hợp để làm giảm 
sự phức tạp của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
 3x 1 2 6x 1 x 1 6(x 1)2 5x 5
a/ (3x 1) b/ (x2 2x 1) 
 2 5 2 3 6
 x 2 2x 4 5 2(x 1) 1 (2x 2)
c/ 2 (2 x) 0 d/ (x 1) 
 2 3 6 3 2
Lời giải:
 t 2t 1 4 4
a/ Đặt t = 3x – 1 được t t 5 x . Vậy pt có tập nghiệm S = 
 2 5 2 3 3 
 t 6t 2 5t
b/ Đặt t = x + 1 được t 2 t 0 x 1. Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1} 
 3 6
 x 2 2x 4 5 x 2 2(x 2) 5
c/ 2 (2 x) 0 2 (x 2) 0
 2 3 6 2 3 6
 t 2t 5
Đặt t = x – 2 được 2 t 0 6 + 3t – 4t + 5t = 0 4t = -6 
 2 3 6
 3 3 1 1 
 t x 2 . Vậy phương trình có tập nghiệm S  .
 2 2 2 2
 2(x 1) 1 (2x 2) 2(x 1) 1 2(x 1)
d/ (x 1) (x 1) 
 3 2 3 2
 2t 1 2t 3 3 1
Đặt t = x – 1 được t 6t 4t 3 6t t x 1 x 
 3 2 4 4 4
 1 
Vậy phương trình có tập nghiệm S =  .
 4
Bài tập: Giải phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
 3x 1 2 6x 1 x 1 5(x 1) 1
a/ (3x 1) b/ (x 1) 
 2 5 2 3 6
Phần 3: Phương trình tích
 Gv: Đặng Đức Hùng . Trang 3 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ......................... Tài liệu hướng dẫn hs tự học .......................................... Môn: Đại số 8 
 3 3 
 x = hoặc x = -3. Vậy phương trình có tập nghiệm S = ; 3 .
 4 4 
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a/ 2x(3x – 2) – (x + 1)(3x – 2) = 0 b/ (x – 2)(x2 – 3x + 5) = x3 – 2x2
 1
c/ (x + 1)(3 – x) + x = 3 d/ 3x2 – 2x – 1 = 0
 2
e/ (2x – 1)2 + (x – 3)(2x – 1) = 0 f/ 2(x – 5)(x + 2) = x2 – 5x
g/ (2x + 1)(1 – x) + 2x = 2 h/ x2 – 5x + 6 = 0
Phần 4: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
1/ Lưu ý: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần đặc biệt chú ý đến điều kiện xác định là tất cả các 
mẫu thức phải khác 0
2/ Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình
- Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu
- Giải phương trình vừa nhận được
- Kiểm tra và kết luận
3. Chú ý: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một đa thức hoặc khi bình phương hai vế của 
một phương trình, ta thu được 1 phương trình tương đương.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
 4 7 4 4x 1
a/ 0 b/ 
 2x 3 3x 5 2x 3 4x2 9 2x 3
Lời giải:
 3 5
a/ Điều kiện xác định: x ; x .
 2 3
 4 7 4 3x 5 7 2x 3 2x 1 1
 0 0 0 x (thỏa mãn)
2x 3 3x 5 2x 3 3x 5 2x 3 3x 5 2
 1 
Vậy phương trình có tập nghiệm S =  .
 2
 3
b/ Điều kiện xác định: x 
 2
 4 4x 1 3
 4 2x 3 4x 2x 3 10x 15 x (thỏa mãn)
2x 3 4x2 9 2x 3 2
 3
Vậy phương trình có tập nghiệm S = .
 2 
Bài tập: Giải các phương trình sau
 2 x 7 x2 5 3 x
a/ b/ 
 2x 1 4x2 1 2x 1 25 x2 x 5 x 5
 2
 3 2 4x 5 2 x x 6 2 3
c/ d/ 
 x 1 x 2 x2 3x 2 x3 8 2 x x2 2x 4
 6 x 3 x 1 6 1 x 5
e/ g/ 
 x2 6x 8 x 4 x 2 x3 1 x2 x 1 x 1
Phần 5: Giải toán bằng cách lập phương trình:
Phương pháp giải: 
Bước 1: Lập phương trình:
 - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
 - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
 - Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình thu được.
 Gv: Đặng Đức Hùng . Trang 5 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ......................... Tài liệu hướng dẫn hs tự học .......................................... Môn: Đại số 8 
Bài tập 6: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược donghf từ bến B đến bến A mất 
5 giờ. Tính khoảng cách giữa 2 bến A và B, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h.
Bài tập 7: Hai người đi bộ ở 2 địa điểm cách nhau 7km để gặp nhau. Người thứ nhất mỗi giờ đi được 
6,6km còn người thứ 2 đi được 7,2km nhưng lại dừng 3 phút. Hỏi sau bao lâu họ gặp nhau?
Dạng 3: Toán làm chung công việc (Toán năng suất lao động).
Lưu ý: + Toán làm công việc chung có 3 đơn vị tham gia: Toàn bộ công việc, phần việc làm trong 1 đơn 
vị thời gian (1 ngày, 1 giờ, ) và thời gian làm công việc.
 + Nếu 1 đội nào đó làm xong công việc trong x ngày thì 1 ngày đội đó làm được 1/x công việc.
Ví dụ: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy 
được bằng 1,5 lượng nước chảy được của vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?
 48 24 3
Ta có: 4giờ 48phút = 4 + = giờ; 1,5 = .
 60 5 2
 1
Gọi x (giờ) là thời gian vòi 2 một mình chảy đầy bể (x > 0), thì 1 giờ vòi 2 chảy được bể, còn vòi 1 
 x
 3 1 3 1 3
chảy được . bể. Vậy 1 giờ cả 2 vòi chảy được + .
 2 x 2x x 2x
 24 24 5
Mặt khác, cả 2 vòi chảy giờ thì đầy bể, nên 1 giờ cả 2 vòi chảy được 1: = bể. Ta có ptrình:
 5 5 24
1 3 5 24 36 5x
 + = + = 5x = 60 x = 12 (thoả mãn điều kiện)
x 2x 24 24x 24x 24x
 1 5 1 1
Suy ra, 1 giờ vòi 2 chảy bể, vòi 1 chảy – = bể.
 12 24 12 8
Vậy vòi 2 chảy một mình trong 12 giờ, vòi 1 chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể.
Bài tập 1: Một hồ nước có dung tích 5000 lít. Hai vòi nước chảy vào hồ, vòi thứ nhất mở trước vòi thứ 
hai 90 phút và kém vòi thứ 2 là 100 lít/h. Khi 2 vòi cùng khoá thì vòi thứ nhất đã chảy được 4 giờ và còn 
thiếu 120 lít mới đầy hồ. Tính xem mỗi vòi trong 1 giờ chảy được bao nhiêu lít nước?
Bài tập 2: Hai vòi nước chảy vào 1 bể thì đầy bể trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi thứ nhất chảy 3 
giờ, vòi thứ 2 chảy 2 giờ thì cả 2 vòi chảy được 4/5 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
Bài tập 3: Hai bể chứa nước, chứa 800lít và 1300lít. Người ta tháo ra cùng 1 lúc ở bể thứ nhất mỗi phút 
15lít và ở bể thứ 2 mỗi phút 25lít. Hỏi sau bao lâu số nước còn lại ở bể thứ nhất bằng 2/3 số nước còn lại 
của bể thứ 2.
Bài tập 4: Hai đội công nhân đều phải sửa 1 quãng đường dài 20km. Trong 1 tuần, cả 2 đội làm tổng 
cộng 9km. Tính xem mỗi đội sửa được bao nhiêu km đường trong 1 tuần, biết rằng thời gian đội 1 làm 
nhiều hơn đội 2 là 1 tuần.
 Gv: Đặng Đức Hùng . Trang 7