Tài liệu Ôn tập kiến thức môn Đại số 9 - Chương 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Đặng Đức Hùng

 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ------------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học ---------------------------- Môn: Đại số 9 
 CHƢƠNG 3: HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
CHỦ ĐỀ 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
1. Định nghĩa: 
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số x; y có dạng ax + by = c (a, b, c là các số thực, a và b không cùng bằng 0) 
+ Những cặp số (x; y) khi thay vào phương trình để hai vế nhận cùng giá trị gọi là nghiệm phương trình. 
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm số. 
2. Cách giải: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c. 
 c
a/ Trường hợp 1: Nếu a 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax + 0y = c ax = c x = 
 a
 c
Phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát x ; y R . 
 a
 c
Tập nghiệm của pt khi biểu diễn lên mp Oxy là đt x , đt này vuông góc 
 a
 c c
trục Ox tại điểm ( Hình này minh họa cho trường hợp > 0) 
 a a
b/ Trường hợp 2: Nếu a = 0 và b 0 thì pt trở thành: 0x + by = c 
 c
 by = c y = . 
 b
 c
Phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát x R; y . 
 b
 c
Tập nghiệm của pt khi biểu diễn lên mp Oxy là đt y , đt này vuông góc 
 b
 c
trục Oy tại điểm (Hình này minh họa cho trường hợp > 0) 
 b
c/ Trường hợp 3: Nếu a 0; b 0. Ta có: ax + by = c by = -ax + c 
 ac
 yx 
 bb
+ Phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát (x R; ) 
 ac
+ Tập nghiệm biểu diễn trên mp Oxy là đt (d): y = x (đây là đồ thị hàm số bậc nhất) 
 bb
(Hình này minh họa cho trường hợp > 0 và > 0) 
* Giải thích thêm ý nghĩa của việc biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng Oxy: 
Tập nghiệm pt trong trường hợp 3 là đt (d): y = phải hiểu là: 
+ Mọi điểm nằm trên đt (d) thì tọa độ của nó là nghiệm của pt 
+ Những cặp số là nghiệm của pt khi biểu diễn lên mp Oxy thì điểm đó thuộc (d) 
+ Trên (d) có vô số điểm nên pt có vô số nghiệm. 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? 
 A. 2x2 – y = 0 B. –x – 3y = 5 C. 0x + 0y = 3 D. 2x + 5 = 0. 
Câu 2: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình 2x – 3y = 8? 
 8
A. (x = -2; y = 1) B. (x = 1; y = -1) C. (x = 1; y = -2) D. (x = 0; y = ) 
 3
Câu 3: Cho phương trình –x + 3y = 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 
A. Phương trình có vô số nghiệm số. B.Tập nghiệm của pt là (x = -2; y = 1) 
 1
C. Cặp số (x = -4; y = ) là một nghiệm của pt. D. Cặp số (x = 1; y = 2) là một nghiệm của pt. 
 3
Câu 4: Cho pt ax – 3y + a = 0 (1). Biết pt (1) có nghiệm (2; 1), vậy nghiệm tổng quát của (1) là: 
A. x ¡ ;1 y x B. x ¡ ; y 3 x 3 C. x ¡ ; y 3 x 3 D. x y 1; y ¡ . 
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 1 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ------------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học ---------------------------- Môn: Đại số 9 
 xy 1 a x 22 y 1
Câu 6: Cho hệ pt: và tương đương khi a bằng: A. – B. C. –2 D. 2 
 22xy x a y 1 2
Trả lời: 
 Câu 1 2 3 4 5 6 
 Đáp án 
Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn: 
Phƣơng pháp 1: Giải hpt bằng phƣơng pháp thế 
 x 2 y 1 .(1)
Bài 1: Giải hệ phương trình: 
 3 x 2 y 3 .( 2 )
Từ pt (1) ta biểu diễn x theo y (gọi là rút x) ta có: x = 1 + 2y (*). Thay (*) vào pt (2) ta được: 
 x 1 2 y xy 12 x 1
3(1 + 2y) + 2y = 3 (**). Thế (**) vào pt 2 của hệ ta có: 
 3(1 2 y ) 2 y 3 3 6yy 2 3 y 0
Vậy hệ đã cho có một nghiệm (x = 1; y = 0). 
Chú ý: Cần tập thói quen kiểm tra lại kết quả bài giải bằng máy tính bỏ túi 
Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. 
 4 x y 2 x y m 3 x 2 y 6 2 x 3 y 1 2xy 3 5
 a/ b/ c/ d/ e/ 
 8 x 3 y 5 2 x y 4 x y 2 4 x 6 y 2 5xy 4 1
 37xy xy 42 xy 2 2 x 3 y 2
f/ g/ h/ i/ 
 xy 20 3xy 2 4 2xy 3 9 4 x 6 y 2
Phƣơng pháp 2: Giải hpt bằng phƣơng pháp cộng đại số 
 3 x y 3
Bài 1: Giải hệ pt: 
 2 x y 7
Nhận thấy: các hệ số của ẩn y là đối nhau nên Cộng vế theo vế hai pt của hệ được pt mới chỉ chứa ẩn x 
 3x y 3 3 x y 3 y 3
 Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm (x = 2; y = -3) 
 5x 1 0 x 2 x 2
 2 x 5 y 8
Bài 2: Giải hệ pt: 
 2 x 3 y 0
Nhận xét: các hệ số của ẩn x là bằng nhau nên Trừ vế theo vế hai pt của hệ được pt mới chỉ chứa ẩn y 
 3
 2x 5 y 8 2 x 5 y 8 x 3
 2 Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm (x = ; y = 1) 
 2x 3 y 0 8 y 8 2
 y 1
 5xy 2 4 (1)
Bài 3: Giải hệ pt: 
 6xy 3 7 (2 )
Nhận thấy: các hệ số của ẩn x cũng như các hệ số của ẩn y là không bằng nhau 
Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn x) Nhân 2 vế pt (1) với 6, nhân hai vế pt (2) với 5 để được hệ mới có hệ số 
của ẩn x đối nhau. 
 2
 5xy 6 4 x 
 5xy 2 4 (1) 30x 12 y 24 30 x 12 y 24 3
 11 
 6xy 3 7 ( 2 ) 301535x y 311 y y 11
 3 y 
 3
 2 11
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm (x = ; y = ) 
 3 3
Cách 2: (Cân bằng hệ số của ẩn y) Nhân hai vế pt (1) với 3, nhân hai vế pt (2) với 2 để được hệ mới có hệ 
số của ẩn x đối nhau. 
 11
 5xy 2 4 y 
 1 5x 6 y 1 2 1 5 x 6 y 1 2 3
 2 
 1 2x 6 y 1 4 3 x 2 x 2
 3 x 
 3
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 3 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ------------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học ---------------------------- Môn: Đại số 9 
 2x 1 1
 a b 2 a 1 x 1
 1 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x = 1; y = 0) 
 1
 2a b 1 b 1 y 0
 xy 
Bàì 5: Giải các hệ phương trình sau: 
 1 1 4 1 1
 2
 2 ( x y ) 3( x y ) 4 x y 5 x 2 y 1
a/ b/ c/ 
 ( x y ) 2 ( x y ) 5 1 1 1 2 3
 1
 x y 5 x 2 y 1
 24
 3
 x y 1 3 x 2 y 1
d/ e) 
 42 2 x y 4
 5 
 x 1 y
Hệ pt chứa tham số: 
Dạng 1: Tìm tham số khi biết số nghiệm của hệ 
 a x b y c
 Cho hệ phương tình bậc nhất hai ẩn: 
 a x b y c 
 ab
 + Hệ có nghiệm duy nhất 
 ab 
 a b c
+ Hệ vô nghiệm 
 a b c 
 abc
+ Hệ có vô số nghiệm . 
 abc 
 Bài tập mẫu: 
 x m y 2
Bài 1: Cho hệ pt . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. 
 m x 21 y
Giải chi tiết 
 x 2
Với m 0 thì hệ 1 , hệ có nghiệm. 
 y 
 2
 1 m
Với m 0 . Hệ có nghiệm duy nhất mm22 22 (luôn đúng). 
 m 2
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. 
 ab
* Khi lập tỉ số nếu a hoặc b có tham số m thì ta phải xét thêm trường hợp a 0 hoặc b 0 . 
 ab 
 m x 22 y m
Bài 2: Cho hệ pt . Tìm đk của m để hpt có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó. 
 21x y m 
Giải chi tiết 
 m x 2 y 2 m (1)
Hệ . 
 2x y m 1 (2 )
 m 2
Hệ có nghiệm duy nhất m 4 . 
 21
Từ phương trình (2) ta có: y 21 x m . Thay vào phương trình (1) ta được: 
 2
 42m 4m 2 m 5 m
m x 2 2 x m 1 2 m m 4 x 4 m 2 x , m 4 ym 2 . 1 . 
 m 4 mm 44
 4m 2 m2 5 m
Vậy với m 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là xy;; . 
 mm 44
Dạng 2: Tìm tham số để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trƣớc 
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 5