Tài liệu Ôn tập kiến thức môn Hình học 9 - Chương 3: Các loại góc trong đường tròn - Đặng Đức Hùng

 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ----------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học --------------------------- Môn: Hình học 9 
 CHƯƠNG 3: CÁC LOẠI GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 
I. Góc ở tâm – Số đo cung tròn: 
A. Lý thuyết: 
1/ Góc ở tâm: Góc ở tâm là góc có đỉnh tại tâm đường tròn 
- Hình bên: ·AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB. 
2/ Số đo cung: 
 A
- Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó ( = Sđ »AB ) B
- Số đo nửa đường tròn bằng 1800 
- Số đo cung lớn bằng 3600 trừ số đo cung nhỏ có cùng đầu mút với cung lớn. 
3/ So sánh cung: 
Định lí: Trong 1 đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau khi chúng cùng số đo độ. 
 b) Hai cung cùng số đo độ thì bằng nhau. 
B. Bài tập: 
Bài tập tự luận: 
Bài 1: Cho (O; R), vẽ dây AB = R. Tính số đo các cung AB. 
 0
HD: OAB đều = 60 số đo cung nhỏ, cung lớn AB. 
Bài 2: Cho (O; R), vẽ dây AB = R 2 . Tính số đo các cung AB. 
HD: Dùng Đlí Py ta go đảo cm OAB vuông tại O ...... 
Bài 3: Cho (O; R), vẽ dây AB = R 3 . Tính số đo các cung AB. 
 R 3 0 0 
HD: Vẽ OH  AB tại I IA = IB = , Tính Sin ·AOI = 60 = 120
 2
Bài 4: Cho (O; R), nêu cách vẽ cung có số đo 600; 900; 1200. 
Bài 5: Cho (O; R),vẽ dây AB khác đường kính; M là trung điểm AB; OM cắt đường tròn tại E. Chứng tỏ E là 
điểm chính giữa cung nhỏ AB. 
Chú ý: Được phép dùng như những định lý khi giải BT, vì vậy một số suy luận bỏ qua điều kiện “dây 
không qua tâm”. 
 Đường kính vuông Đường kính qua trung C B
 góc với dây điểm dây 
 A M
 c 
 Đường kính qua điểm O
 chính giữa cung 
Ví dụ: Trong hình trên: Đường tròn (O) thì: OMABMAMBCACB » » 
Bài tập trắc nghiệm: 
 0
Câu 1: Hai tiếp tuyến tại hai điểm A, B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tạo thành ·AMB = 50 . Số đo của 
góc ở tâm chắn cung AB là: A. 500 B. 400 C. 1300 D. 3100 
Câu 2: Cho (O; 4cm), vẽ cung MN có số đo 600 thì độ dài NM bằng: 
A. 2cm B. 4cm C. 4 cm D. 4 3 cm 
Câu 3: Cho (O; 2cm), vẽ cung MN có số đo 900 thì độ dài NM bằng: 
A. 2cm B. 3cm C. 2 cm D. 2 cm. 
Câu 4: Cho (O; 3cm), vẽ cung MN có số đo 1200 thì độ dài NM bằng: 
A. 2cm B. 3cm C. 3 cm D. 3 cm. 
Câu 5: Cho (O; Rcm), vẽ cung MN có số đo 1200, biết M = 5 cm thì độ dài R bằng: 
A. 2cm B. 5cm C. 3 cm D. 5 cm. 
Câu 6: Cho (O; Rcm), vẽ cung AB có số đo 900, biết AB = 2cm thì độ dài R bằng: 
A. 2cm B. 5cm C. 2 cm D. cm. 
Câu 7: ABC đều nội tiếp đường tròn (O) thì số đo cung nhỏ BC bẳng: 
A. 600 B. 1200 C. 900 D. 1000. 
Câu 8: Cho đường tròn (O, R), từ A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB và AC thì số đo cung nhỏ BC 
bằng: A. 1200 B. 600 C. 900 D. 1000. 
Câu 9: Khẳng định nào sai? 
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 1 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ----------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học --------------------------- Môn: Hình học 9 
 nhỏ AC bằng: A. 600 B. 1200 C. 1000 D. 1300. 
Bài làm: 
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 Đáp án 
Bài tập tự luận: 
Phần 1: Bài tập mẫu 
Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến CAD vuông góc với AB. Tia 
CB cắt (O’) tại E, tia BD cắt (O) tại F. Chứng minh rằng: 
a/ CAFDAE· · 
b/ AB là tia phân giác của EAF· 
c/ CA. CD = CB. CE 
d/ CD2 = CB. CE + BD. CF 
Hướng dẫn: 
 0
Vì CD  AB CAB· = 90 , 
 0
mà = 1/2 sđ BC» sđ = 180 
Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng. 
Cm tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng. 
a/ Chứng minh : 
Trong (O) ta có: CAFCBF· · (góc nội tiếp cùng chắn cung CF) 
Trong (O’) ta có: DAEDBE· · (góc nội tiếp cùng chắn cung DE) 
Mà CBFDBE· · (đối đỉnh) . 
b/ AB là tia phân giác của : 
 0
Nối CF và DE ta có: CFB· = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) 
 · 0
 BED = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) 
 0
Xét ΔCFB và ΔDEB có: = = 90 ; (đối đỉnh) FCBEDB· · 
Mặt khác: FCBFAB· · (góc nội tiếp (O) cùng chắn cung FB); (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung EB) 
EABFAB· · hay AB là phân giác của góc . 
c/ Chứng minh CA. CD = CB. CE: 
Xét ΔCAE và ΔCBD có: Cµ chung; CEABDA· · (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung AB) 
 CACE
 ΔCAE ∼ ΔCBD (g.g) hay CA. CD = CB. CE (1) 
 CBCD
d/ Chứng minh CD2 = CB. CE + BD. CF: 
Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA. DC = DB. DF (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: CA. CD + DA. DC = CB. CE + DB. DF 
 2
 (CA + DA)CD = CB. CE + DB. DF CD = CB. CE + DB. DF 
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD 
vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng: 
a/ MA. MB = MC. MD. b/ Tứ giác ABEC là hình thang cân. 
 2 2 2 2
c/ Tổng MA + MB + MC + MD có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong D
đường tròn (O). 
Hướng dẫn: 
a/ Chứng minh MA. MB = MC. MD: 
Xét ΔAMC và ΔDMB có: 
 · · · · 0 O
 ACDABD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) ; AMCBMD = 90 (gt) 
 MAMC
 ΔAMC ∼ ΔDMB (g.g) MA. MB = MC. MD M
 MDMB
b/ Chứng minh tứ giác ABEC là hình thang cân: A B
 0
Vì DCE· = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CD ⊥ CE; CD ⊥ AB (gt) 
 C E
 AB // CE Tứ giác ABEC là hình thang (1). 
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 3 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ----------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học --------------------------- Môn: Hình học 9 
 ¼ » · ·
 MDND DACMND (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) 
 0 0 0
Lại có: ·AND = 90 (nội tiếp chắn nửa đtròn) DANADN· · = 90 MNDADN· · = 90 MN ⊥ AD 
Vì tứ giác AEDF là hình thoi nên EF ⊥ AD MN // EF 
Bài 7: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại A, (R > R'). Qua điểm B bất kỳ trên 
(O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) tại hai điểm M và N, AB cắt (O) tại C. Chứng minh rằng: 
a/ MN ⊥ OC 
b/ AC là tia phân giác của MAN· 
Hướng dẫn: 
a/ Chứng minh MN ⊥ OC: 
Vì ΔO'AB cân tại O’ nên OABOBA· '' · 
 Δ OAC cân tại O nên ∠OAC = ∠OCA 
 · ·
 OCAOBA ' , mà hai góc này ở vị trí đồng vị O’B // OC. 
Mặt khác MN là tiếp tuyến của (O’) tại B O'B ⊥ MN. 
Do đó OC ⊥ MN 
b/ Chứng minh AC là tia phân giác của : 
Trong đường tròn (O): đường kính OC ⊥ MN OC là đường trung trực của MN CM = CN 
 ¼ » · ·
 CMCN MACNAC hay AC là tia phân giác của . 
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm chính giữa cung AB; M là điểm bất kỳ trên 
cung BC, kẻ CH ⊥ AM. 
a/ Chứng minh ΔHCM vuông cân và OH là tia phân giác của COM· 
b/ Gọi I là giao điểm của OH với BC và D là giao điểm của MI với nửa đường tròn (O). Cm: MC // BD. 
Hướng dẫn: 
a/ Cm ΔHCM vuông cân và OH là tia phân giác của : 
 1 0
Vì C là điểm chính giữa của cung AB CMA· = sđ A» C = 45 
 2 
 ΔHCM vuông cân tại H CH = HM 
Dễ thấy ΔCOH = ΔMOH (c.c.c) COHMOH· · 
 Vậy OH là tia phân giác của 
b/ Chứng minh MC // BD: 
Dễ thấy ΔCOI = ΔMOI (c.g.c) nên CI = MI ΔCMI cân tại M CMIMCI· · 
Lại có CMDCBD· · (góc nội tiếp cùng chắn cung CD) MCBCBD· · , mà hai góc này ở vị trí so le trong 
 MC // BD. 
Bài 9: Qua điểm M nằm trong đường tròn (O) kẻ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: 
a/ Đường cao MH của ΔAMD đi qua trung điểm I của BC. 
b/ Đường trung tuyến MI của ΔBMC vuông góc với AD. 
Hướng dẫn: 
a/ Cm đường cao MH của ΔAMD đi qua trung điểm I của BC 
Ta có ·ADCABC · (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) (1) 
Lại có ·AMHADM · (cùng phụ với góc MAD) 
Mà ·AMHIMB · (đối đỉnh) IMBADM· · (2) 
Do đó IM = IB. 
Cm tương tự ta có: IM = IC IB = IC = IM I là trung điểm của BC. 
b/ Học sinh tự chứng minh. 
Bài 10: Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Qua điểm M thuộc 
cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E), kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F. 
a/ Chứng minh: MFOMBO· 2 · 
 0
b/ Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ AC sao cho FEO· = 30 . Khi đó tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF 
theo R. 
Hướng dẫn: 
a/ Chứng minh: 
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trang 5 Trường THCS Nguyễn Gia Thiều ----------------------- Tài liệu hướng dẫn hs tự học --------------------------- Môn: Hình học 9 
c/ Xác định vị trí của A trên cung lớn BC để độ dài AI lớn nhất. 
III. Liên hệ giữa cung (nhỏ) và dây: 
A. Lý thuyết: 
1/ Tính chất: Trong đường tròn, đối với hai cung nhỏ thì: 
a/ Hai cung bằng nhau hai dây tương ứng bằng nhau 
b/ cung nào lớn hơn Dây tương ứng của nó lớn hơn 
c/ Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. 
VD: Hình bên: 
 » »
a/ AB = CD ABCD 
b/ »ABCD » AB = CD 
c/ AB < CD »ABCD » 
d/ »ABCD » AB < CD 
e/ AB // MN ¼AMBN » 
B. Bài tập: 
 0 0
Bài 1 : Cho đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ góc ở tâm ·AOB = 80 , vẽ góc ở tâm BOC· = 120 (với 
và kề nhau). So sánh và sắp xếp độ dài AB, BC, CA theo thứ tự tăng dần. 
Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AD. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB. Lấy 
điểm E bất kỳ trên đường tròn tâm A (không trùng với B và D), điểm F trên đường tròn tâm C sao cho BF 
song song với DE. So sánh hai cung nhỏ DE và BF. 
Bài 3: Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng 
nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: 
a/ »AEBF » b/ »AEEF » 
Bài 4: Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ đt vuông góc 
với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ đt vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm 
thứ hai là F. Chứng minh rằng: 
a/ Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau. b/ Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau c/ DE = BF. 
IV. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: 
A. Lý thuyết: 
1/ Khái niệm: Cho đường tròn (O); Ax là tia tiếp tuyến, AB là dây. Góc 
xA· B là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB chắn cung AB. 
2/ Tính chất: 
a/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn 
 1
VD: BAx· sđ» A B 
 2
b/ Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau 
( B· A x · A M B (vì cùng chắn cung AB)) 
Chú ý: A thuộc đường tròn, vẽ tia Ax và dây AB của đường tròn, Nếu 3 thì Ax là tia tiếp 
tuyến của đường tròn (Ta xem đây là 1 phương pháp chứng minh tiếp tuyến) 
B. Bài tập: 
Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 1: Cho (O; R), vẽ dây AB = R , gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A, Góc lớn tạo bởi 1 tia tiếp tuyến tại 
A với dây AB có số đo bằng: A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1000. 
Câu 2: Cho (O; R), vẽ dây AB = R, gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A, góc nhỏ tạo bởi 1 tia tiếp tuyến tại A 
với dây AB có số đo bằng: A. 200 B. 300 C. 450 D. 600. 
Câu 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), ở nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia tiếp tuyến Ax với 
đường tròn. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
A. xA· C Bµ B. xA· C Cµ C. xA· C B· A C . D. xA· C B· O C . 
Câu 4: Hình bên cho AB là tiếp tuyến của (O) và ACD là các tuyến, khẳng định nào sai? 
 1
A. ·ABCD µ B. ·ABCBOC · C. ·ABCBCD · D. ABC ~ ADB. 
 2
 C A
 Giáo viên: Đặng Đức Hùng ----------------------------------------------------------------------------------------------D ------------ Trang 7 
 O
 B