Tổng hợp các bài toán hình ôn thi vào Lớp 10

 CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10
 (Dành tặng cho các em học sinh lớp 9 đang chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên)
 Bài 1 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường
tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.
 2. Chứng minh AB // EM.
 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K.
 Chứng minh M là trung điểm HK. x
 2 1 1
 4. Chứng minh 
 HK AB CD D C
 BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) M
 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp. E H K
 1 O
 Ta có : E AC sđ AC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE A B
 2
 và dây AC của đường tròn (O))
 1 Hình 01
 Tương tự: x DB sđ D B (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)
 2
 Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên AC B D . Do đó E AC x DB .
 Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.
 2. Chứng minh AB // EM.
 Tứ giác AEDM nội tiếp nên E AD E MD (cùng chắn cung ED). Mà
E AD ABD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung
AD).
 Suy ra: E MD ABD . Do đó EM // AB.
 3. Chứng minh M là trung điểm HK.
 HM DH MK CK
 DAB có HM // AB . CAB có MK // AB . Mà
 AB DA AB CB
DH CK HM MK
 (định lí Ta let cho hình thang ABCD). Nên . Do đó MH =
DA CB AB AB
MK. Vậy M là trung điểm HK.
 2 1 1
 4. Chứng minh .
 HK AB CD
 Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được:
 HM DM
 (1). Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM //
 AB DB
 KM BM
CD ta được: (2). Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
 CD BD Vậy AD  AB CM // AB AM B C .
 Mà AM MC nên AM B C AM MC B C = 600.
 4. Tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài (O) theo R:
 Gọi S là diện tích phần tam giác ADC ở ngoài
 đường tròn (O). S1 là diện tích tứ giác AOCD.
 S2 là diện tích hình quạt góc ở tâm AOC.
 Ta có: S = S1 – S2 hình 3
 Tính S1:
 AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) AM MC B C 600 AOD 600 .
 2
 0 1 1 R 3
 Do đó: AD = AO. tg 60 = R 3 SADO = AD.AO .R 3.R .
 2 2 2
 2
 R 3 2
 AOD COD (c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD = 2 SADO = 2. = R 3 .
 2
 2 0 2
 0 R .120 R
 Tính S2: AC 120 S quạt AOC = = .
 3600 3
 2 2 2 2
 2 R 3R 3 R R
 Tính S: S = S1 – S2 = R 3 – = = 3 3 (đvdt) .
 3 3 3
 Lời bàn:
 1. Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh các góc H và K là
những góc vuông, và để có được góc K vuông ta chỉ cần chỉ ra MB  AM và CD//
MB. Điều đó suy ra từ hệ quả của góc nội tiếp và giả thiết CD // MB. Góc H vuông
 được suy từ kết quả của bài số 14 trang 72 SGK toán 9 tập 2. Các em lưu ý
các bài tập này được vận dụng vào việc giải các bài tập khác nhé.
 2. Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không các em?
 3. Rõ ràng đây là câu hỏi khó đối với một số em, kể cả khi hiểu rồi vẫn không
biết giải như thế nào , có nhiều em may mắn hơn vẽ ngẫu nhiên lại rơi đúng vào
hình 3 ở trên từ đó nghĩ ngay được vị trí điểm C trên nửa đường tròn. Khi gặp loại
toán này đòi hỏi phải tư duy cao hơn. Thông thường nghĩ nếu có kết quả của bài
toán thì sẽ xảy ra điều gì ? Kết hợp với các giả thiết và các kết quả từ các câu trên
ta tìm được lời giải của bài toán . Với bài tập trên phát hiện M là trực tâm của tam
giác không phải là khó, tuy nhiên cần kết hợp với bài tập 13 trang 72 sách Toán
9T2 và giả thiết M là điểm chính giữa cung AC ta tìm được vị trí của C ngay.
 Với cách trình bày dưới mệnh đề “khi và chỉ khi” kết hợp với suy luận cho ta
lời giải chặt chẽ hơn. Em vẫn có thể viết lời giải cách khác bằng cách đưa ra nhận
định trước rồi chứng minh với nhận định đó thì có kết quả , tuy nhiên phải trình
bày phần đảo: Điểm C nằm trên nửa đường tròn mà B C 600 thì AD là tiếp tuyến.
Chứng minh nhận định đó xong ta lại trình bày phần đảo: AD là tiếp tuyến thì
B C 600 . Từ đó kết luận. S KN 1
 Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên: AKB .
 S AMB MN 2
 1
 Do đó S S .
 AKB 2 AMB
 MB
 Tam giác AMB vuông ở M nên tg A = 3 M AB 600 .
 MA
 a a 3 1 1 a a 3 1
 Vậy AM = và MB = S . . . = a2 3 (đvdt).
 2 2 AKB 2 2 2 2 16
 Lời bàn:
 (Đây là đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của tỉnh Hà Nam) .
 Từ câu 1 đến câu 3 trong quá trình ôn thi vào lớp 10 chắc chắn thầy cô nào
cũng ôn tập, do đó những em nào ôn thi nghiêm túc chắc chắn giải được ngay, khỏi
phải bàn, những em thi năm qua ở tỉnh Hà Nam xem như trúng tủ. Bài toán này có
nhiều câu khó, và đây là một câu khó mà người ra đề khai thác từ câu: MK cắt AB
ở N. Chứng minh: K là trung điểm MN.
 Nếu chú ý MK là đường thẳng chứa đường cao của tam giác AMB do câu 3
và tam giác AKB và AMB có chung đáy AB thì các em sẽ nghĩ ngay đến định lí:
Nếu hai tam giác có chung đáy thì tỉ số diện tích hai tam giác bằng tỉ số hai đường
cao tương ứng, bài toán qui về tính diện tích tam giác AMB không phải là khó phải
không các em?
 Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến
Ax của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông
góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi
giao điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng:
 a) Tứ giác AMQI nội tiếp. b) AQI A CO . c) CN = NH.
 (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh)
 BÀI GIẢI CHI TIẾT x
 a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:
 Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) M
 OA = OC (bán kính đường tròn (O))
 Q C
  M IA 900
 Do đó: MO AC . I
 N
 0
 x
 AQB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) A B
 O H
 M QA 900 . Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới K Hình 5
 một góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp được
 trong một đường tròn.
 b) Chứng minh: AQI A CO . M
 Q
 Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI A MI Hình 6 C
 I
 (cùng phụ M AC ) (2). N
 A O H B AB2 = BD.BE (1).
 FAB vuông ở A (do Ax là tiếp tuyến), có AC  BF nên AB2 = BC.BF (2).
 Từ (1) và (2) suy ra: BD.BE = BC.BF.
 c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp:
 Ta có:
 C DB C AB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
 C AB C FA ( cùng phụ F AC ) C DB C FA
 Do đó tứ giác CDEF nội tiếp.
 Cách khác
 BD BC
 DBC và FBE có: B chung và (suy từ BD.BE = BC.BF) nên
 BF BE
chúng đồng dạng (c.g.c). Suy ra: C DB E FB. Vậy tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.
 d) Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi:
 Ta có: ABD C BD (do BD là phân giác ABC ) AD C D .
 Tứ giác AOCD là hình thoi OA = AD = DC = OC
 AD = DC = R AD D C 600 AC 1200 ABC 600
 Vậy ABC 600 thì tứ giác AOCD là hình thoi.
 Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:
 AC 1200 AC R 3 .
 1 1 R2 3
 Sthoi AOCD = OD.AC .R.R 3 (đvdt). Hình 8
 2 2 2
 Lời bàn
 1. Với câu 1, từ gt BD là phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ
ngay đến cần chứng minh hai góc so le trong O DB và O BD bằng nhau.
 2. Việc chú ý đến các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác
AEB, FAB vuông do Ax là tiếp tuyến gợi ý ngay đến hệ thức lượng trong tam giác
vuông quen thuộc. Tuy nhiên vẫn có thể chứng minh hai tam giác BDC và BFE
đồng dạng trước rồi suy ra BD.BE = BC.BF. Với cách thực hiện này có ưu việc
hơn là giải luôn được câu 3. Các em thử thực hiện xem sao?
 3. Khi giải được câu 2 thì câu 3 có thể sử dụng câu 2 , hoặc có thể chứng
minh như bài giải.
 4. Câu 4 với đề yêu cầu xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD trở
thành hình thoi không phải là khó. Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ ngay đến
cung AC bằng 1200 từ đó suy ra số đo góc ABC bằng 600. Tính diện tích hình thoi
chỉ cần nhớ công thức, nhớ các kiến thức đặc biệt mà trong quá trình ôn tập thầy cô
giáo bổ sung như AC 1200 AC R 3 ,........ các em sẽ tính được dễ dàng.
 Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt
cạnh AB, AC lần lượt tại E và F ; BF cắt EC tại H. Tia AH cắt đường thẳng
BC tại N. BÀI GIẢI
 a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp:
 Ta có: AED A FD 900 (gt). Hai đỉnh E và F cùng nhìn AD dưới góc 900 nên
tứ giác EFDA nội tiếp được trong một đường tròn.
 b) Chứng minh AF là phân giác của góc EAD:
 Ta có:
 AE  CD
 AE //OC . Vậy E AC C AD ( so le trong)
 OC  CD
 Tam giác AOC cân ở O (vì OA = OC = R) nên C AO O CA . Do đó:
E AC C AD . Vậy AF là phân giác của góc EAD (đpcm).
 c) Chứng minh tam giác EFA và tam giác BDC đồng dạng:
 EFA và BDC có:
 E FA C DB (hai góc nội tiếp cùng chắn AE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
EFDA).
 E AC C AB
 E AF B CD . Vậy EFA và BDC đồng dạng (góc- góc).
 C AB D CB
 d) Chứng minh các tam giác ACD và ABF có cùng diện tích:
 1 1
 SACD = DF.AC và SABF = BC.AF. (1)
 2 2
 BC AC
 BC // DF (cùng  AF) nên hay DF. AC = BC.AF (2).
 DF AF
 Từ (1) và (2) suy ra : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: có thể giải 2 cách khác
nữa).
 Bài 9 Cho tam giác ABC ( B AC 450 ) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O
đường kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M (M A).
Đường vuông góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P.
 a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp.
 b) Chứng minh MAP cân.
 c) Tìm điều kiện của ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.
 H
 BÀI GIẢI
 M
 a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: C
 Ta có : M HC 900 (gt), M KC 900 (gt) K
 Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối nhau
 A O P B
 bằng 1800 nên nội tiếp được trong một đường tròn.
 b) Chứng minh tam giác MAP cân:
 AH // OC (cùng vuông góc CH) nên M AC A CO (so le trong)